Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$.
Для решения биквадратных уравнений $x^2$ заменяется на любую другую букву, например на $y$, то есть:
если $x^2 = y$, то $ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2\right)^2+b\left(x^2\right)+c$ $\Rightarrow$ $ay^2 + by + c = 0$ .
Следовательно, относительно $y$, уравнение получается квадратным и решается по обычным формулам корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений $ax^4 + bx^2 + c = 0$:
* Ввести новую переменную $y=x^2$;
* Подставить данную переменную в исходное уравнение $ay^2 + by + c = 0$;
* Решить квадратное уравнение относительно новой переменной $y$;
* Найденные корни ($y_1;y_2$) подставить в нашу переменную: $x^2=y_1$ , $x^2=y_2$ ; решить эти простейшие квадратные
уравнения - это и будут корни исходного биквадратного уравнения.
Пример 1: Решить уравнение $x^4-29x^2+100=0$
- вопрос к данному уравнению : " каким числом должно быть неизвестное $x$, чтобы левая и правя часть сравнялись?"
- но легче ответить на вопрос: " каким должно быть $x^2$, чтобы $\left(x^2\right)^2-29\cdot\left(x^2\right)+100=0$ было справедливым ?"
- ответив на этот вопрос, мы узнаем $x^2$ $\Rightarrow $ легко найти $x$ . например: если $x^2 =9$ $\Rightarrow $ очевидно $x=-3$ и $3$ .
- перефразируем вопрос про $x^2$: каким может быть $y$, чтобы уравнение $\left(y\right)^2-29\cdot\left(y\right)+100=0$ выполнялось ?
- а это уже квадратное уравнение и мы знаем как его решать.
- Стратегия: вместо того, чтобы сразу искать $x$, сперва будем искать "выражение от $x$", назвав его новой переменной $y$.
- перепишем уравнение "на языке" $y$ и найдем его корни, затем по числовым значениям $y$ найдем "старое" $x$.
- Такая последовательность действий называется Методом Замены:
- a) введение $y=$формула замены; б) составление уравнения подстановки на языке $y$.
- замена $y=x^2$ подстановка $y^2-29\cdot y+100=0$ $\Leftrightarrow$
- вычислим Дискриминант $D=29^2-4\cdot100=\left(29-20\right)\cdot\left(29+20\right)$ и найдем $y$ - корни $y=4$ , $y=25$.
- для каждого $y$ - решения найдем "свои" $x$ -значения. возвращаемся к $x$ по формулам замены:
- возврат 1-го y- корня $\Leftrightarrow$ $x^2=4$ $\Rightarrow$ его решения $x=2$ , $x=-2$
- возврат 2-го y- корня $\Leftrightarrow$ $x^2=25$ $\Rightarrow$ $x=-5$ , $x=5$.
- Ответ: $x=-5$, $x=-2$ , $x=2$ , $x=5$.
Пример 2: Решить уравнение $4\cdot t^4-49\cdot t^2=0$
- это биквадратное уравнение можно решить методом замены, но можно поступить проще и вынести за скобки множитель:
- $t^2\left(4\cdot t^2-49\right)=0$ $\Rightarrow $ произведение $= 0$ $\Rightarrow $ распад на случаи: $t^2=0$ и $4\cdot t^2-49=0$ .
- найдем корни каждого уравнения. Ответ: $t=0$ , $t=-\frac{7}{2}$ , $t=\frac{7}{2}$ .
Пример 3: Решить уравнение $x^2-6x-\left(x-3\right)^4+21=0$
- для метода замены нужно "узреть" повторяющееся выражение и назвать его новым неизвестным , вроде на первый
- взгляд такого не наблюдается. но приглядимся к $x^2-6x$ и $\left(x-3\right)^4$ . сделаем эквивалентное,
- не меняющее суть, изменение $x^2-6x+9-\left(x-3\right)^4+21-9=0$ $\Leftrightarrow$ $\left(x-3\right)^2-\left(x-3\right)^4+12=0$
- вот и "нарисовалось" одинаковое повторяющееся выражение , так небольшой "переделкой" мы получили
- уравнение для Метода Замены: если $y=\left(x-3\right)^2$ , то $y-y^2+12=0$ $\Rightarrow$ $y=4$ и $y=-3$ .
- составляем уравнения возвратов по замене $\left(x-3\right)^2=y$:
- возврат 1-го $y$ - значения $\Rightarrow$ $\left(x-3\right)^2=4$ $\Rightarrow$ $x=5$ и $x=1$ ;
- возврат 2-го $y$ - значения $\Rightarrow$ $\left(x-3\right)^2=-3$ $\Rightarrow$ нет решений. Ответ: $x=5$ , $x=1$ .
Пример 4: Решить уравнение с радикалом $x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$
- можно сделать замену всего радикала $y=\sqrt{x^2+6x}$ . очевидно равенство их квадратов $x^2+6x=y^2$
- подставим замену в уравнение $\Rightarrow $ обычное квадратное уравнение $y^2+24=10y$ , приведем его
- к каноническому виду $y^2-10y+24=0$ . решим через упрощенную формулу $\Rightarrow $ $y=4$ , $y=6$.
- теперь, возврат замены $\sqrt{x^2+6x}=y$ . для каждого найденного $y$ найдем соответствующие $x$ - решения:
- $\sqrt{x^2+6x}=4$ , возведем обе части в квадрат, получим $x^2+6x=16$ $\Rightarrow $ $x=-3+5=2$ , $x=-8$ ;
- $\sqrt{x^2+6x}=6$ , возведение в квадрат приведет к $x^2+6x=36$ $\Rightarrow $ $x=-3+\sqrt{45}$ , $x=-3-3\sqrt{5}$ .
- Ответ: $x=-8$ , $x=2$ , $x=-3+3\sqrt{5}$ , $x=-3-3\sqrt{5}$ (четыре корня).
Интерактивная Доска
Упражнения: