Мы начинаем цикл занятий, посвященный уравнениям. В течение цикла разберем методы решения уравнений всех типов, изучаемых в рамках школьной программы. Начнем с алгебраических уравнений. Итак, тема первого занятия – Алгебраические уравнения.
В основном будем рассматривать алгебраические уравнения с одной неизвестной.
Алгебраическим уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида $P(x)=0$, где $P(x)$ - многочлен одной переменной $x$. При этом степень многочлена $P(x)$ называется степенью уравнения.
Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
То есть, $x=c$ является корнем уравнения, если $P(c)=0$. При этом, $x=c$ так же называется корнем самого многочлена $P(x)$.
Решить уравнение – значит найти все его корни, если они существуют, или доказать, что корней нет.
Алгебраические уравнения первой и второй степени соответственно имеют вид
$$ ax + b =0,\ \ \ \ \ \ \ a {x} ^ {2} + bx + c =0 $$
Приводить примеры решения таких уравнений мы не будем, так как они в полном объеме изучаются в школе.
Метод разложения многочлена на множители.
Пример 1 ${x} ^ {3} +4 {x} ^ {2} +3x-2=0.$
Методом разложения на множители, удобно пользоваться в случае, когда удается найти хотя бы один корень уравнения. Известно, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень будет делителем свободного коэффициента. Для нашего случая, это означает, что, если данное уравнение имеет целый корень, то он будет делителем числа $−2$. Делителями $−2$ являются ${\pm 1,\pm 2}$. Непосредственно подстановкой проверим, есть ли среди них корни уравнения. Легко убедится, что среди этих чисел только $x=−2$ является корнем уравнения. Обратимся теперь, к теореме Безу, согласно которой, если $x=c$ является корнем алгебраического уравнения $P(x)=0$, то многочлен $P(x)$ нацело делится на двучлен $x−c$. В силу этой теоремы, кубический многочлен $x^3+4x^2+3x−2$ нацело делится на $x+2$. При этом результатом деления будет многочлен второй степени.
Деление можно произвести уголком. Однако, гораздо быстрее можно получить тот же результат, применив схему Горнера.
| $\ $ | $1$ | $4$ | $3$ | $-2$ |
| $-2$ | $1$ | $2$ | $-1$ | $0$ |
$x^3+4x^2+3x−2=(x+2)(x^2+2x−1)$
Очевидно, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Ответ: $x=-1-\sqrt{2}$, $x=-2$, $x=-1+\sqrt{2}$
Биквадратные уравнения
Уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$ называется биквадратным уравнением. После замены $y=x^2$ биквадратное уравнение приводится к обычному квадратному уравнению $ay^2+by+c=0$.
Пример 2 $x^4−4x^2−5=0.$
Данное уравнение четвертой степени представляет собой биквадратное уравнение, и оно решается заменой $y=x^2$.
Ответ: $x=-\sqrt{5}$, $x=\sqrt{5}$.
Возвратные уравнения четвертой степени
Рассмотрим общее алгебраическое уравнение четвертой степени.
$$
ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0
$$
Если $a=f$, $b=d$, то данное уравнение называется возвратным или симметричным уравнением.
Приведем пример решения симметричного уравнения.
Пример 3 $x^4−3x^3−2x^2−3x+1=0.$
Решить эту задачу, методом разложения левой части на множители не удастся, так как, не видно простого способа отыскания какого-либо корня.
Приведенный ниже способ, позволяет решать любое симметричное уравнение четвертой степени.
$x=0$ не является корнем этого уравнения, поэтому, не опасаясь потерять корень, можно обе части уравнения поделить на $x^2$.
Bведем обозначение $y=x+\displaystyle\frac{1}{x}$. Тогда $y^2=x^2+2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$. Учитывая введенное обозначение, получим $y^2−3y−4=0$.
Ответ: $x=2-\sqrt{3}$, $x=2+\sqrt{3}$.
Отметим, что способ, описанный выше, позволяет решать не только симметричные уравнения, но и любые уравнения четвертой степени, коэффициенты которых удовлетворяют условию $$ \frac{f}{a}=\left(\frac{d}{b}\right)^2 $$
Пример 4 $2x^4−x^3−15x^2+3x+18=0$.
$$
$$ $$
Введем обозначение $y= x−\displaystyle\frac{3}{x}$. Тогда $y^2=x^2−6+\displaystyle\frac{9}{x^2}$
.
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, \\ x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}, \\ x=\frac{3-\sqrt{57}}{4}, \\ x=\frac{3+\sqrt{57}}{4}. \end{array} $
Ответ: $x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{3-\sqrt{57}}{4}$, $x=\displaystyle\frac{3+\sqrt{57}}{4}$.
Приведем еще один метод решения общего алгебраического уравнения четвертой степени
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0,$$ где коэффициенты $a, b, c$ - произвольные вещественные числа, $a \neq 0$, а коэффициент $d$ удовлетворяет условию $d=\displaystyle\frac{4abc-b^3}{8a^2}$.
Пример 5 $3x^4+6x^3+x^2−2x−1=0$.
Легко проверить, что условие $d=\displaystyle\frac{4abc-b^3}{8a^2}$ выполняется. Задачи такого типа решаются путем выделения полного квадрата.
$3x^4+6x^3+x^2−2x−1 = 3(x^4+2x^3+x^2)−3x^2+x^2−2x−1 = 3(x^4+2x^3+x^2)−2 (x^2+x)−1 = 3(x^2+x)^2−2(x^2+x)−1$.
Введем обозначение $y=x^2+x$. Тогда данное уравнение примет вид
Ответ: $x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Следует отметить, что методы, описанные выше, не всегда позволяют решить алгебраические уравнения третьей или четвертой степени. С алгебраическими уравнениями третьей и четвертой степени дело обстоит следующим образом: Известно, что корни любого кубического уравнения можно выразить в радикалах с помощью формулы, называемой формулой Кардано. Аналогично, корни любого алгебраического уравнения четвертой степени можно выразить в радикалах по формуле, называемой формулой Феррари. Однако, применение этих формул предполагает знакомство с комплексными числами, что выходит за рамки стандартной школьной программы. В завершении отметим, что для общего алгебраического уравнения степени выше четвертой, невозможно выразить его корни в радикалах. Это утверждение носит название теоремы Абеля-Руфини.
Задачи для самостоятельного решения
- ${x} ^ {3} -2 {x} ^ {2} -2x-3=0$
- $2{x} ^ {3} -5 {x} ^ {2} +2x+1=0$
- ${3x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} +12x-8=0$
- ${x} ^ {3} -7x+6=0$
- ${2x} ^ {3} -3 {x} ^ {2} -3x+2=0$
- ${x} ^ {3} -5 {x} ^ {2} -5x+1=0$
- ${x} ^ {3} +6 {x} ^ {2} +11x+6=0$
- ${x} ^ {4} +2 {x} ^ {3} -2 {x} ^ {2} -3x+2=0$
- $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} -4x+3=0$
- $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} -4x+1=0$
- $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} +5 {x} ^ {2} +2x-3=0$
- $3 {x} ^ {4} + {x} ^ {3} -32 {x} ^ {2} -3x+27=0$
- $2 {x} ^ {4} -11 {x} ^ {3} +20 {x} ^ {2} -22x+8=0$
- ${x} ^ {4} -2 {x} ^ {3} +5 {x} ^ {2} -4x+3=0$
Интерактивные упражнения для самостоятельного решения