Степень: основание, показатель. Свойства, формулы.
Квадрат числа (выражения) - умножить это число (выражение) на само себя. $a^2=a\cdot a$
Куб числа (выражения) - умножить это число (выражение) на само себя три раза. $b^3=b\cdot b\cdot b$
Степенью называется выражение вида $a^n$ $a$ - основание степени. $n$ - показатель степени.
Основанием степени может быть любое число , а также числовое или алгебраическое выражение.
Показателем степени могут быть натуральные и дробные числа, а также любые алгебраические выражения.
Степени c натуральным показателем Натуральной n- ой степенью a-числа называется
$a^n=a\cdot a\cdot......\cdot a$ произведение на самого себя $n$ - раз.
$a^0=1$ число в нулевой степени равно 1 . $a^1=a$ число в первой степени равняется самому себе.
$a^2=a\cdot a$ число, выражение во второй степени - это число, помноженное само на себя: Квадрат числа.
$a^3=a\cdot a\cdot a$ число, выражение в третьей степени - это число, помноженное само на себя $3$ раза: Куб числа.
$a^7=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ $7$ раз помноженное само на себя , получим 7-ую степень числа: "a в 7-ой степени" ..
Степень - удобная запись произведения нескольких одинаковых множителей. Также, как произведение = сумма одинаковых.
Пример 1: Вычислить степени, упростить ...
$6^4=6\cdot6\cdot6\cdot6=36\cdot36=2376$
$\left(-\frac{2}{7}\right)^4=-\frac{2}{7}\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)=\frac{16}{49\cdot49}=\frac{16}{2401}$
$(-10)^3=(-10)\cdot (-10)\cdot (-10)=-1000$
$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}= \left(\frac{1}{3}\right)^7$
$0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5\cdot0,5$ представляется как степень $\left(0,5\right)^6$
$\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)=\left(-3\right)^5$
$(3a)^4=(3a)\cdot (3a)\cdot (3a)\cdot (3a)=(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)\cdot (a\cdot a\cdot a\cdot a)=81\cdot a^4$
Свойство: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
Пример 2: $10^2\cdot10^3$ умножение степеней
распишем обе степени по определению $\left(10\cdot10\right)\cdot\left(10\cdot10\cdot10\right)=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10$
получилось $5$ раз на само себя - это и есть степень с основанием $10$ и показателем 5 . значит, $10^5$
$10^2\cdot10^3=10^5$ ; $\left(\frac{2}{3}\right)^{12}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{15}$ ; $6^4\cdot6^3\cdot6^2=6^9$ ; $y^a\cdot y^3=y^{a+3}$
Свойство: $a^m:a^n=a^{m-n}$ При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.
Пример 3: $10^5:10^3$ деление степеней
опираясь на свойство, мы можем расписать наше делимое $10^5=10^{5-3}\cdot10^3$
разделим обе части на $10^3$ : $10^5:10^3=10^{5-3}\cdot10^3:10^3$ . В делимом 5 десяток. В делителе 3 десятки. Осталось ..?
$10^5:10^3=10^2$ ; $\left(\frac{1}{7}\right)^{10}:\left(\frac{1}{7}\right)^3=\left(\frac{1}{7}\right)^7$ ; $\left(-2,5\right)^5:\left(-2,5\right)^3=\left(-2,5\right)^2$ ; $a^x:a^2 = a^{x-2}$
Свойство: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$ При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
Пример 4: $\left(3^2\right)^3$ куб от квадрата
распишем основание степени по определению $3^2\cdot3^2\cdot3^2$ ; сумму одинаковых слагаемых
в показателе можно заменить произведением $3^{2\cdot3}$ . Всего троек будет $3$ * $2$ раза .
$\left(3^2\right)^3=3^6$ ; $\left(\left(0,2\right)^2\right)^2=\left(0,2\right)^4$ ; $\left(x^4\right)^5=x^{20}$
Свойство: $\left(a\cdot b\right)^n=a^n\cdot b^n$ При возведении в степень произведения надо возводить каждый множитель.
Пример 5: $\left(3\cdot2\right)^2$ произведение в квадрате.
распишем основание степени по определению $\left(3\cdot2\right)\cdot\left(3\cdot2\right)$ ;
по сочетательному закону переставим $\left(3\cdot3\right)\cdot\left(2\cdot2\right)$ ; произведения заменим $3^2\cdot2^2$
$\left(3\cdot2\right)^2=3^2\cdot2^2$ ; $\left(\frac{1}{3}\cdot8\cdot2\right)^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot8^2\cdot2^2$ ; $\left(2a\right)^3=8\cdot a^3$
Свойство: $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ При возведении в степень дроби, возводится числитель и знаменатель.
Пример 6: $\left(\frac{3}{5}\right)^2$ дробное число в квадрат
распишем основание степени по определению $\left(\frac{3}{5}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)$ ; по правилу умножения дробей
$\frac{3\cdot3}{5\cdot5}$ ; числитель и знаменатель каждое заменим степенью $\frac{3^2}{5^2}$
$\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3^2}{5^2}$ ; $\left(\frac{11}{137}\right)^{15}=\frac{11^{15}}{137^{15}}$ ; $\left(\frac{x}{5}\right)^3=\frac{x^3}{125}$ $\left(\frac{ax}{b}\right)^5=\frac{a^5\cdot x^5}{b^5}$
Пример 7: Упростить $\frac{\left(z^2\right)^6z^6}{\left(z^5\right)^3}=\frac{z^{2\cdot6}\cdot z^6}{z^{5\cdot3}}=z^{12+6-15}=z^3$.
- Надо быть "зрячим" - видеть где какую формулу можем применить.
- Действуем "Шаг за шагом" : применяем формулу и смотрим заново - теперь что можно сделать?
- Видим степень в степени ... превращаем в единую степень.
- Видим умножение степеней ... превращаем в единую степень со сложенным показателем.
- Видим деление степеней ... превращаем в единую степень с вычитанием показателей.
Пример 8: Примеры применения различных свойств, формул степеней:
$\frac{3^6\cdot3^{10}}{3^6\cdot3^7\cdot3^2}=\frac{3^{6+10}}{3^{6+7+2}}=3^{16}:3^{15}=3^{16-15}=3^1=3$
$a^7\cdot a^5\cdot\left(a^2\right)^4=a^{7+5}\cdot a^{2\cdot4}=a^{12}\cdot a^8=a^{20}$
$\left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^5\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^7=\left(\frac{5^{3\cdot4}}{6^{2\cdot4}}\right)\cdot\left(\frac{2^5}{5^5}\right)\cdot\left(\frac{3^7}{5^7}\right)=\left(\frac{5^{12}}{6^8}\right)\cdot\frac{2^5\cdot3^{5+2}}{5^{5+7}}=\frac{5^{12}\cdot2^5\cdot3^5\cdot3^2}{5^{12}\cdot6^{5+3}}=\frac{\left(2\cdot3\right)^5\cdot3^2}{6^5\cdot6^3}=\frac{6^5\cdot3^2}{6^5\cdot\left(2\cdot3\right)^3}=\frac{3^2}{2^3\cdot3^3}=\frac{1}{8\cdot3^1}=\frac{1}{24}$
$\frac{2^5\cdot5^{22}-2\cdot5^{21}}{25^{10}}=\frac{2^{4+1}\cdot5^{21+1}-2\cdot5^{21}}{\left(5^2\right)^{10}}=\frac{2\cdot5^{21}\cdot\left(2^4\cdot5-1\right)}{5^{20}}=2\cdot5\cdot\left(16\cdot5-1\right)=10\cdot79=790$
$2^{4n+5}:2^{n+2}=2^{4n+5-\left(n+2\right)}=2^{4n+5-n-2}=2^{3n+3}=2^{3\left(n+1\right)}=\left(2^3\right)^{n+1}=8^{n+1}$
Интерактивная Доска:
Упражнения, примеры: