Сокращение числовых дробей

Сократить дробь - значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же число.

• сократить    $\frac{16}{20}$     на $4$    значит разделить и числитель $16$, и знаменатель $20$    на число   $4$.
• после деления мы получим равную $\frac{16}{20}$ - м    дробь.                 $\frac{16}{20}=\frac{16:4}{20:4}=\frac{4}{5}$

Сокращение дробей      - это способ упрощения выражения, содержащего дробь.

• $\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$   разделили числитель и знаменатель на $4$. дробь стала состоять из меньших чисел. выглядеть попроще.

• $\frac{150}{250}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$      здесь от дроби с трёхзначными числами перешли к дроби с однозначными числителем и знаменателем.

До какого момента можно сокращать дробь?      Пока в числителе и в знаменателе не останутся взаимно простые числа.

Пример 1:         Сократить           $\frac{210}{840}=\frac{21}{84}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$

• 1. выделим множитель $10$ в числителе и в знаменателе.
• 2. разделим обоих на этот множитель(делитель).            получили равную дробь, но попроще.
• 3. выделим ещё общие делители     
• 4. сократим(разделим) на $3$.         получили дробь ещё проще.
     
• 5. заметим, что     и числитель,     и знаменатель делятся на $7$.                
• 6. сократим на последний общий делитель числителя и знаменателя.   
• 7. от      $\frac{210}{840}$       пришли к     $\frac{1}{4}$.     $\frac{1}{4}$ уже сокращать нельзя.   потому что $1$ и $4$ не имеют общих делителей.
     
     иначе говоря, $1$ и $4$ взаимно простые числа.

Основное свойство дроби:      Если числитель и знаменатель алгебраической дроби поделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится алгебраическая дробь, равная прежнему: дробь не изменится.   

$\frac{A\cdot X}{X\cdot B}=\frac{A\cdot X:X}{X\cdot B:X}=\frac{A\cdot1}{1\cdot B}=\frac{A}{B}$              $X\ne0$       $B\ne0$

Сократить дробь - значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на один и тот же множитель.

Алгоритм сокращения алгебраических дробей

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Найти общие множители.
3. Разделить числитель и знаменатель на общие множители.

Пример 2:     Сократить дроби    $\frac{7a}{ax}$           $\frac{6m}{-9m}$        $\frac{10ab^6c}{15a^3b^2x}$      $\frac{8\left(a-b\right)}{a-b}$

$\frac{7a}{ax}=\frac{7\cdot a}{a\cdot x}=\frac{7\cdot [a]}{[a]\cdot x}=\frac{7\cdot [1]}{[1]\cdot x}=\frac{7}{x}$                               общий множитель          $a$   

$\frac{6m}{-9m}=\frac{6\cdot [m]}{-9\cdot [m]}=\frac{2\cdot3\cdot [1]}{-3\cdot3\cdot [1]}=-\frac{2}{3}$                            общий множитель          $3m$

$\frac{10ab^6c}{15a^3b^2x}=\frac{10ab^6c:[5ab^2]}{15a^3b^2x:[5ab^2]}=\frac{2b^4c}{3a^2x}$                              общий множитель             $5ab^2$

$\frac{8\left(a-b\right)}{a-b}=\frac{8\left(a-b\right):[a-b]}{(a-b):[a-b]}=8$                                      общий множитель            $a-b$

Упражнения