Координатная система, Координаты точек

Координатная плоскость:      Два числа - Одна точка плоскости.

Так же как простую прямую можно превратить в координатную, так и обычную плоскость можно превратить в координатную . Для этого на плоскости нужно провести две перпендикулярные координатные прямые с одинаковыми единичными отрезками     $x$    и    $y$ ,   которые пересекаются в начале отсчёта — точке $0$ . Так будет задана      прямоугольная система координат или декартова.

прямоугольная система координат    положение точки определяется двумя её координатами - абциссой и ординатой .

• На прямой положение точки определяется одной координатой, а на плоскости в системе координат положение точки определяется двумя её координатами - абциссой и ординатой .
• Любой точке   $M$    координатной плоскости сопоставляются $(x_M;y_M)$ - два числа, пара чисел, две его координаты:
• Для получения этих координат необходимо через точку    $M$    провести две прямые, параллельные координатным осям.
• Одна прямая пересечёт ось абсцисс (ось    $X$)    в точке с абсциссой    $x_M$ - первое число в паре координат ,
• вторая прямая пересечёт ось ординат (ось   $Y$) в точке с ординатой    $y_M$ - второе число в паре координат.
• Четыре прямых угла, образованных координатными осями, называются координатными углами:     $I$ , $II$ ,   $III$ и $IV$ четверти.

      

Пример 1:        Построить точки по заданным координатам   $А(2;5)$,   $В(3;1)$ . Отметить точки $M(3;-1)$,   $N(-5;-2)$

• Для построения точки по ее координатам нужно:
• отсчитать по $x$ - горизонтали количество единиц, заданной первым числом. Если положительно, то вправо от 0. Иначе, влево.
• Затем: отсчитать по $y$ - вертикали столько, сколько указано вторым числом в координатах. Если отрицательно, то вниз от 0. Иначе вверх.

Пример 2:         Определить координаты точек    $А$,   $В$ ,    $C$.

• Посмотреть на точку: сколько единиц по $x$ - горизонтали, правее или левее от 0, сколько по $y$ - вертикали, вверх или вниз?
  
• Знаки? по тому как вправо-влево по $x$, вверх- вниз по $y$.      Ответ:     $А(1;3)$,       $В(-3;5)$ ,       $C(4;2)$.

  

Координатные углы   .    Четверти координатной плоскости   $I$,   $II$,    $III$,     $IV$.

• Если точка имеет положительную абсциссу        $x>0$   и положительную ординату        $y>0$ , то она лежит в   $I$   четверти.
• Если точка имеет отрицательную   абсциссу       $x<0$   и положительную ординату        $y>0$ , то она лежит во     $II$    четверти.
• Если точка имеет   отрицательную   абсциссу     $x<0$   и отрицательную   ординату        $y<0$   , то она лежит в   $III$    четверти.
• Если точка имеет положительную   абсциссу      $x>0$   и отрицательную   ординату        $y<0$   , то она лежит в   $IV$ четверти.
  

    

                                            

Пример 3:          Построить точки по заданным координатам   $M(1;3)$ ,    $N(3;1)$    .

• a) для построения точки    $M$    необходимо отложить единицу на оси   $x$ и провести перпендикулярную прямую, (Рис. 1).
• на оси $Y$ откладываем число    $3$ и проводим перпендикулярную   оси   $y$ прямую ...на пересечении перпендикуляров получим точку   $M$    с координатами    $(1;3)$.
• б) для построения точки   $N$    необходимо отложить на оси    $x$    число    $3$    и провести перпендикулярную оси    $x$   прямую;
• на оси   $y$   откладываем число $1$   и проводим перпендикулярную оси $y$ прямую $\Rightarrow $ на пересечении перпендикуляров получим точку     $N$   с координатами      $(3;1)$ .

 (1)      (2)      (3)      (4) 

Пример 4:      Определить   в каком координатном углу находится точка по заданным знакам координат.   

• а)   Где находится    $M\left(x_M;y_M\right)$ , если   $x_M<0$     и      $y_M>0$     ?
• построим координатную плоскость и обозначим на ней точку   $M$    (Рис. 2). Ответ:   точка $M$   лежит в $ΙΙ$ четверти.
• б)   Где находится        $N\left(x_N;y_N\right)$ , если   $x_N<0$     и      $y_N<0$     ?
• построим координатную плоскость и обозначим на ней точку $N$ (рис.3) . Ответ:     точка $N$    лежит в $ΙΙΙ$ четверти.
• в)   Где находится       $P\left(x_P;y_P\right)$ , если   $x_P<0$     и      $y_P>0$     ?
• построим координатную плоскость и обозначим на ней точку   $P$    (рис. 4).Ответ:      точка $P$    лежит в $ΙV$ четверти.

Пример 5:      Определить   в каких координатных углах может находиться точка, если известен знак только одной из координат.

• а)   Где находится   точка , если   у нее положительная ордината      $(x;y>0)$    ?
• т.к ордината точки больше нуля      $y>0$, а знак абсциссы не задан $\Rightarrow $ точка может лежать и в первом    (т. $M$)    и во втором    (т. $N$ )    координатном углу (Рис. 5).          Ответ:      $Ι$   ,    $ΙΙ$.
• б)   Где находится   точка , если   у нее отрицательная ордината      $(x;y<0)$    ?
• рассуждаем:    так как ордината точки меньше нуля      $y<0$, а знак абсциссы не задан   $\Rightarrow $    точка лежит в третьем    (т. $M$)    или   в четвертом   (т. $N$ )   координатном углу (Рис. 6). а)    Ответ:      $ΙΙΙ$   ,    $ΙV$.
• в)   Где находится   точка , если   у нее положительная абцисса      $(x>0;y)$    ?
• абцисса точки больше нуля      $x>0$,   знак ординаты может быть любой      $\Rightarrow $    точка может принадлежать и первому    (т. $M$)    и   второму    (т. $N$ )    координатному углу (Рис. 7). а)    Ответ:      $Ι$   ,    $ΙV$.
• г)   Где находится   точка , если   у нее отрицательная   абцисса      $(x<0;y)$    ?
• абцисса точки меньше нуля       $x<0$,   а знак ординаты не задан       $\Rightarrow $    точка принадлежит второму     (т. $M$)    или третьему     (т. $N$ )    координатному углу (Рис. 8). а)    Ответ:      $ΙΙ$   ,    $ΙΙΙ$.

(5)             (6)                     (7)                 (8)

Пример 6:       Построить   точки    $M(4;1)$ , $N(4;0)$   , $P(4;-3)$ , $K(4;3)$    и где они лежат?

• построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки.   у   точек абсцисса одинаковая и равна    $4$,
• следовательно,    все они лежат на одной вертикальной прямой    (Рис. 9),     уравнение которой       $x=4$.
• Ответ: все заданные точки лежат на прямой      $x=4$.

Пример 7:       Построить   точки    $M(1;3)$ , $N(-3;3)$   , $P(5;3)$      и   определить на какой прямой они лежат.

• построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки.   у   точек   одинаковая    ордината   равная    $3$
• все    точки    лежат   на одной горизонтальной прямой     (Рис. 10),     уравнение которой       $y=3$.
• Ответ:      все заданные точки лежат на прямой      $y=3$.

   (9)             (10)                   (11)    

Пример 8:        Составить уравнения прямых и написать координаты точек их пересечения по данным   рисунка     (11) .

• по рисунку   видно , что абсцисса точки   $M$   равна   $5$ ,   а ордината равна   $4$
  
• прямые     $KM$    и    $MN$    пересекаются в точке      $M(5;4)$.
  
• аналогично находим координаты других точек:   $N(5;-3)$ ,    $P(-3;3)$ ,     $K(-3;4)$ .
• уравнение   вертикальной    прямой    $MK$     $y=4$ :     ордината у любых точек этой прямой равна    $4$ .
• уравнение   вертикальной   прямой    $NP$      $y=-3$ , так как ордината каждой точки этой прямой равна   $-3$.
• уравнение горизонтальной прямой    $MN$     $x=5$ , так как абсцисса у всех точек этой прямой равна $5$.
• $KP$ - горизонтальная прямая и   абсцисса каждой её точки равна   $-3$    $\Rightarrow $ уравнение   $KP$   $x=-3$ .
• Ответ:       $(MK)$ $y=4$; $(NP)$   $y=-3$;   $(MN)$   $x=5$ ; $(KP)$   $x=-3$ ;     $M(5;4)$ , $N(5;-3)$ , $P(-3;3)$ , $K(-3;4)$ .

Упражнения:

Ответьте на вопросы:

• Как построить точку    $A(-2;5)$?
• Какие знаки имеют координаты точек во втором координатном углу?
• В какой четверти располагается точка   $B(4;2)$ ?
• Постройте фигуру по заданным точкам: $(-2;2)$   ,    $(2;2)$   ,     $(2;-2)$   ,     $(0;0)$   ,      $(-2;-2)$   ,   $(-2;2)$ .
• Отметьте на координатной плоскости точки   $M(-6;3)$   ,    $N(3;0)$    ,     $K(-2;1)$    ,    $P(1;-2)$ .   Проведите прямые $MN$   и   $КР$     и     найдите координаты их точки пересечения .

Иллюстрация координатной оси:

   

      

   

https://interneturok.ru/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/koordinatnaya-ploskost

Координатная ось - "фотография" чисел в виде точек на прямой ##

пробa Координатная ось и координатная плоскость нужны для того, чтобы связать местность, точку пространства с числом или упорядоченной парой чисел. Такая связь используется давно. Например, на дороге ставят указатель расстояния до какого-либо объекта, месторасположение которого характеризуется одним числом. Математики разработали модель, удобную для описания любой прямолинейной дороги – это координатная ось.   

Чтобы из любой прямой получить       координатную ось ,      необходимо выбрать на ней нулевую точку     $0$    - это будет началом отсчета ;       отметить   точку     $1$ - определить единичный отрезок    (т.е. выбрать масштаб)    и    нарисовать стрелочку в положительном направлении отсчёта .           На координатной оси изображается взаимооднозначные соответствия между точками и числами . Например, числу     $3$   на координатной прямой   сопоставляется единственная точка    $A$    ,   
точке      $B$    -    единственное число   $-2$   , такое число назвали координатой.

Координатная прямая — это прямая с указанными на ней началом отсчёта O (0) , направлением и единичным отрезком.

пробa Математиками также была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале), так как известно, что в билете указывается номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в которой номера упорядочены. Такая модель получила название координатная плоскость. Мы будем изучать координатную плоскость с прямоугольной системой координат.

Координаты точек на прямой.

пробa Точка     $O$    разбивает   прямую     $AB$      на два луча      $OA$   и     $OB$ . Если примем точку   $O$ за начало отсчета , выберем на ней единичный отрезок и положительное направление , то мы превратим эту прямую в      координатную ось .    Рассмотрим на ней произвольную точку .     Как определить ее положение?     Для ответа на этот вопрос придумали понятие -       координата . Положение любой точки на координатной оси   задается её координатой.      Чтобы отличить друг от друга координаты , перед числами на левом луче      $OA$    условились ставить знак «минус »   , а перед числами на правом луче       $OB$      -     знак   «плюс».   

Координаты   со знаком    "$-$"    называются отрицательными    .         Координаты   со знаком «+» называются      положительными .

Точка   $O$   - начало отсчета или        начало координат , изображает ноль.       Само число     $0$   не является ни положительным ни отрицательным , только отделяет положительные и отрицательные числа друг от друга .

Координата точки     - это число , показывающее положение точки на прямой.

Записывают координаты точек    $B$    ,   $C$   ,   $D$     следующим образом:      $B(-4,2)$    ,    $C\left(-\frac{1}{2}\right)$    ,    $D(3,9)$   .

Изображение чисел точками на координатной оси.

Числа на координатной прямой выглядят точками. Для того   чтобы   построить   точку, соответствующую некоторому числу    $a$ , нужно:    определить знак этого числа ;   от начала координат отложить отрезок , равный     $\left|a\right|$     вправо , если знак    "+"     и   влево , если   знак        "-" .

Число   $a$   в таком случае называют координатой построенной точки .

На рисунке числа $3$, $\frac{1}{4}$,    $-0,9$   изображены соответсвенно точками      $B$,    $C$,   $D$   . Числа   - это    «адреса»   точек на координатной прямой.           Точки   -   это   "фотографии" чисел.

Введение оси координат:
1) Выбрать на прямой начало координат   ;
2) Выбрать положительное направление     ;
3) Выбрать единичный отрезок.

Координаты точки:
Каждой точке можно присвоить свою координату   -    это расстояние от точки до начала координат с учетом знака: слева от $0$     знак $-$ , справа   $+$.

Изображение числа :
пробa
По любой координате можно восстановить точку.