Производная сложной функции

Учебник
Алгебра, 11 класс
IMG_0454.JPG

Учитель

Темур Кварацхелия
Производная сложной функции

Что такое функция          и           что такое сложная функция ?   

Функция    $g\left(t\right)=3\cdot t-1$     - это правило отображения     $t$ - чисел в значения функции   $g\left(.\right)$ по указанному правилу.

Например:   числу       $t=2$     соответствует значение        $g\left(2\right)=3\cdot 2-1=5$.      "2"     отображается в   "5".

Еще:     $t=0$     отображается в       $-1$,     т.е.       $g\left(0\right)=-1$ ;     говорят: функция    $g$    в точке    $0$     принимает значение    $-1$.

Именно все такие пары соответствий   $\left(2;5\right)$ ,    $\left(0;-1\right)$ ,    $\left(4;11\right)$ ... все прочие "делают" функцию.

"Я знаю кто он, если я знаю на что он способен, что и как он делает".       Функция:   аргумент --->   значение

$g\left(t\right)$ переводит значения аргументов в значения функции. Имя аргумента   " $t$ " здесь не важно, важно правило: $3\cdot t-1$ !

Другая функция,    $f\left(z\right)=z^2$     переводит, отображает      5 ---> 25,      -1 ---> 1.       т.е.      $f\left(5\right)=25$            $f\left(-1\right)=1$

  • Ключевые термины:           функция                              имя                      аргумент               правило вычисления значения    
  • $g\left(t\right)$                       $g\left(t\right)=3\cdot t-1$                  $g$                       $t$                            $3\cdot t-1$            
  • $f\left(z\right)$                      $f\left(z\right)=z^2$                            $f$                       $z$                           $z^2$   

Сложная функция         $f\left(g\left(x\right)\right)=\left(3x-1\right)^2$            комбинированная из двух:   $f$   и $g$

для      $x=2$     функция         $f\left(g\left(2\right)\right)=f\left(5\right)=25$,        значение по правилу такое же      $\left(3\cdot 2-1\right)^2=25$

для      $x=0$     функция         $f\left(g\left(0\right)\right)=f\left(-1\right)=1$,       также и значение по правилу      $\left(3\cdot -1-1\right)^2=1$

  • термины $f\left(g\left(x\right)\right)$               $x$   -   аргумент   функции      $g$.                 $g\left(x\right)$     -    аргумент функции     $f$.

  • $f$    -    внешняя функция,              $g$    -     внутренняя функция.           правило сложной функции   $\left(3x-1\right)^2$    

  • $f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(3x-1\right)=\left(3x-1\right)^2=\left(g\left(x\right)\right)^2$    ...        $x$   (по правилу   $g$ )    --->    $\left(3x-1\right)$    (по правилу $f$)     --->     $\left(3x-1\right)^2$

Пример 1:       Найти производную сложной функций         $\left(\left(3x-1\right)^2\right)'$

  • Сложная функция:   внутренняя   $g\left(x\right)=3x-1$      и      внешняя      $f\left(g\right)=\left(g\left(x\right)\right)^2$ - квадрат от аргумента, от внутренней

  • Метод Замены:       Введем новую переменную         $X=3x-1$ ... "внутренняя функция стала переменной от $x$ "

  • Итак, зависимости:      $f\left(X\right)=\left(X\right)^2$,         $X=3x-1$ .   C какой скоростью изменяется   $f$     при изменении    $x$ ?

  • выражение $\left(X\right)^2$     при изменениях    $X$   изменяется со скоростью             $\left(\left(X\right)^2\right)'=2\cdot X=2\cdot (3x-1)$

  • переменная $X$    при изменениях аргумента   $x$ изменяется со скоростью           $\left(X\right)'=\left(3x-1\right)'=3$

  • тогда, "комбинация двух изменений":        $\left(X\right)^2$     при изменениях     $x$   меняется по умножения скоростей      $2\cdot (3x-1)\cdot 3$

  • иллюстрация правила умножения:    Проследим за всеми взаимными изменениями

  • $\bigtriangleup \left(X^2\right)\approx \left(X^2\right)'\cdot \bigtriangleup X=\left[2X\right]\cdot \bigtriangleup X$        $\bigtriangleup X\approx \left(X'\right)\cdot \bigtriangleup x=\left(3x-1\right)'\bigtriangleup x$

  • комбинированная скорость      $f'\left(x\right)\approx \frac{\bigtriangleup \left(X^2\right)}{\bigtriangleup x}=\frac{\bigtriangleup \left(X^2\right)}{\bigtriangleup X}\cdot \frac{\bigtriangleup \left(X\right)}{\bigtriangleup x}\approx \left[2X\right]\cdot \left(X'\right)=\left[2\cdot \left(3x-1\right)\right]\cdot \left(3\right)$     - умножение скоростей

Решение:       Оформим записи о дифференцировании сложной функции через равенства - действия шаг за шагом:

$\left(\left(3x-1\right)^2\right)'=\left(X^2\right)'\cdot X'=2X\cdot X'=2\left(3x-1\right)\cdot \left(3x-1\right)'=2\left(3x-1\right)\cdot 3=18x-6$.           Или, короче:

$\left(\left(3x-1\right)^2\right)'=2\left(3x-1\right)\cdot \left(3x-1\right)'=2\left(3x-1\right)\cdot 3=18x-6$     (замена    $X=3x-1$ в воображении)

Хорошие вопросы:     Производная Чего?   в этом случае "квадрата".    Что есть внешняя   и что есть внутренняя   функции?

Теорема: Производная Сложной Функции         по аргументу    $x$   равна умножению

производной внешней функции по внутренней на производной внутренней функции по $x$.

$\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=f_g'\cdot g_x'$                   Метод Замены:                   $\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=\left(f\left(X\right)\right)'=f_X'\left(X\right)\cdot X'$.

$X=g\left(x\right)$ - внутреннее выражение.       Доказательство через осмысление предела:   $\frac{\bigtriangleup f\left(g\left(x\right)\right)}{\bigtriangleup x}=\frac{\bigtriangleup f\left(g\right)}{\bigtriangleup g}\cdot \frac{\bigtriangleup g\left(x\right)}{\bigtriangleup x}$

Таблица Основных Производных ...                       $X$ большое     -      любое выражение от     $x$

  1. Степень:                                        $\left(X^n\right)'=n\cdot X^{n-1}\cdot X'$                                             $\left(X^3\right)'=3X^2\cdot X'$      

  2. Корень:                                         $\left(\sqrt{X}\right)'=\left(X^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}\cdot X^{-\frac{1}{2}}\cdot X'$                     $\left(\sqrt[3]{X}\right)'=\left(X^{\frac{1}{3}}\right)'=\frac{1}{3}\cdot X^{-\frac{2}{3}}\cdot X'$

  3. Тригонометрические:                $\left(\sin X\right)'=\cos X\cdot X'$                                             $\left(\cos X\right)'=-\sin X\cdot X'$

  4. Экспоненциальные:                    $\left(e^X\right)'=e^X\cdot X'$                                                        $\left(a^X\right)'=a^X\cdot \ln a\cdot X'$

  5. Логарифмические:                     $\left(\ln X\right)'=\frac{1}{X}\cdot X'$                                                       $\left(\log _aX\right)'=\left(\frac{\ln X}{\ln a}\right)'=\frac{1}{X\cdot \ln a}\cdot X'$

Правила Дифференцирования:

  1. производная суммы равна сумме производных:                 $\left(A-B+C\right)'=A'-B'+C'$

  2. правило производной от умножения:                                       $\left(A\cdot B\right)'=A'\cdot B+A\cdot B'$

  3. правило производной от деления:                                             $\left(\frac{A}{B}\right)'=\frac{A'\cdot B-A\cdot B'}{B^2}$

  4. производная сложной функции :                                                 $\left(f\left(X\right)\right)'=f'\left(X\right)\cdot\left(X\right)'$

Дифференцирование "сложных" функций, ... ... "как замена" и умножение на производную "замены":

  • Производная сложной функции ...   в аргументе функции выражение от $x$, называем "заменой" $X$ :
  • $\left(f\left(X\right)\right)'=f'\left(X\right)\cdot\left(X\right)'$.   В сложных функциях надо распознать и выделить внешнюю и внутреннюю функцию.
  • Найти производную внешней функции и умножить на производную внутренней функции.
  • f- внешняя функция,         $X$ - внутренняя.       $f'\left(X\right)$   -     производная в $X$ !

Главный вопрос при дифференцировании:

  • Что находится под производным?               $\left(....\right)'$               Штрих чего мы ищем?
  • Варианты:      умножение, деление, сумма, умножение на число, функция.
  • Если функция, то какая?               квадрат, степень, тригонометрия, экспоненциальная, логарифм, корень?
  • Если квадрат, то чей?         Если логарифм, то от чего?      Если тригонометрия, то от какого аргумента?

Пример 2:       Найти производные "сложных" функций

В сложных функциях важно правильно распознать внешнюю и внутреннюю функцию. И, перемножить их производные.

A.       $\left(\sin7x\right)'=\left(\sin X\right)'=\cos X\cdot\left(X'\right)=\cos7x\cdot\left(7x\right)'=7\cos7x$

B.       $\left(\sqrt{5\cdot x^2-6}\right)'=\left(\sqrt{X}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{X}}\cdot\left(X\right)'=\frac{1}{2\sqrt{5\cdot x^2-6}}\cdot\left(5\cdot x^2-6\right)'=\frac{10x}{2\sqrt{5\cdot x^2-6}}=\frac{5x}{\sqrt{5\cdot x^2-6}}$

C.       $\left(e^{-5x}\right)'=\left(e^X\right)'=e^X\cdot\left(X\right)'=e^{-5x}\cdot\left(-5x\right)'=-5e^{-5x}$      

D.       $\left(\cos\sqrt{5\cdot x^2-6}\right)'=\left(\cos X\right)'=-\sin X\cdot\left(X\right)'=-\sin\sqrt{5\cdot x^2-6}\cdot\left(\sqrt{5\cdot x^2-6}\right)'=-\frac{5x\cdot\sin\sqrt{5\cdot x^2-6}}{\sqrt{5\cdot x^2-6}}$

E.       $\left(\log_3\left(x^5-3x^2\right)\right)'=\left(\log_3X\right)'=\left(\frac{\ln X}{\ln3}\right)'=\frac{1}{\ln3\cdot X}\cdot\left(X\right)'=\frac{1}{\ln3\cdot\left(x^5-3x^2\right)}\cdot\left(x^5-3x^2\right)'=\frac{5x^4-6x}{\ln3\cdot\left(x^5-3x^2\right)}$

Пример 3:       Найти   производную        $\left(\sqrt{3x}\cos\left(4x+1\right)\right)'$

  • перед нами произведение двух функций , возьмем производную от умножения по формуле

  • $\left(fg\right)'=f'g+fg'$ :                $\left(\sqrt{3x}\right)'\cos\left(4x+1\right)+\sqrt{3x}\left(\cos\left(4x+1\right)\right)'$ .

  • функции , от которых   предстоит взять производную, являются сложными ....   производные   сложных?

  • важно правильно распознать, какая функция будет внешней, а какая внутренней для каждой сложной функции.

  • $\sqrt{3x}$    :     внешняя функция - квадратный корень ; внутренняя - выражение под корнем $3x$ , берем производную:

  • $\left(\sqrt{3x}\right)'=\frac{1}{2}\left(3x\right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\left(3x\right)'=\frac{1}{2}\left(3x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot3=\frac{3}{2\sqrt{3x}}$

  • $\cos\left(4x+1\right)$ :    внешняя функция   - тригонометрическая    cos   ; внутренняя - аргумент косинуса $4x+1$

  • $\left(\cos\left(4x+1\right)\right)'=-\sin\left(4x+1\right)\cdot\left(4x+1\right)'=-\sin\left(4x+1\right)\cdot4x'=-4\sin\left(4x+1\right)$

  • соберем все наши выкладки и получим производную исходного выражения:

  • $\left(\sqrt{3x}\right)'\cos\left(4x+1\right)+\sqrt{3x}\left(\cos\left(4x+1\right)\right)'=\frac{3}{2\sqrt{3x}}\cos\left(4x+1\right)-4\sqrt{3x}\sin\left(4x+1\right)$

Иллюстационный пример:        Учет сложности под разными функциями ....

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: