Однородные тригонометрические уравнения
Отличительные признаки однородных уравнений:
- все одночлены имеют одинаковый род, (сумма степеней)
- свободный член равен нулю,
- в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3\sin\left(x-3\pi\right)$
- упростим по формулам приведения, получим однородное $\sqrt{3}\cos\left(x\right)=-3\sin\left(x\right)$ $\Leftrightarrow$
- поделим обе части на синус $\frac{\sqrt{3}\cos\left(x\right)}{\sin x}=-\frac{3\sin\left(x\right)}{\sin x}$ $\Leftrightarrow$ превратим в котангенс, справа сократим
- $\sqrt{3}\cdot\ctg x=-3$ $\Leftrightarrow$ перенесем числа $\ctg x=-\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow$ Ответ: $x=-\frac{\pi}{6}+\pi\cdot n$
Пример 2: Решить уравнение $4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t=\cos^2t$
- Если заменить $\sin t$ и $\cos t$ на $X$ и $Y$ $\Rightarrow$ $4\cdot X^2-3\cdot X\cdot Y=Y^2$ то ...
- ... каждое слагаемое имеет общую 2-ю степень, сумму степеней каждого переменного.
- однородное уравнение - все слагаемые одинакового рода (= сумме степеней множителей.)
- однородные уравнения решабтся делением на одну из функций в степени, равной роду уравнения.
- поделим обе части на квадрат синуса $\frac{4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\frac{\cos^2t}{\sin^2t}$ $\Leftrightarrow$
- "раскроем" дробь: каждое слагаемое в числителе поделим .... $\frac{A-B}{M}=\frac{A}{M}-\frac{B}{M}$
- $\frac{4\cdot\sin^2t}{\sin^2t}-\frac{3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2$ $\Leftrightarrow$ сократим и сведем к котангенсу ($\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a $).
- $4-3\ctg x=\ctg^2x$ . получили: 1 аргумент, 1 функция. далее: метод замены.
Пример 3: решить уравнение $2\sin ^25x+5\sin 5x\cdot \cos 5x-3\cos ^25x=0$
- Однородное 2-го рода - это квадратичная форма. Разложим на множители
- Угадаем, какие должны быть коэффициенты по форме $\left(2\sin5x+?\cos5x\right)\left(?\sin5x+?\cos5x\right)=0$
- Путем отслеживания чисел легко получить разложение уравнения: $\left(2\sin5x-\cos5x\right)\left(\sin5x+3\cos5x\right)=0$
- $2\sin5x-\cos5x=0$ $2\sin5x=\cos5x$ род = 1 , поделим обе части на $\cos5x$
- $\tg5x=\frac{1}{2}$ $5x=\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\pi n$ $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$
- $\sin5x+3\cos5x=0$ $\sin5x=-3\cos5x$ род обеих частей 1 , делим на $\cos5x$
- $\tg5x=-3$ $5x=-\arctg\left(3\right)+\pi n$ $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$
- Ответ: $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$ $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$
Методы учета однородности ... во всей красе
Пример 4: решить систему уравнений $x^3-2x^2y-xy^2+6y^3=0$ ; $y^2-x^3=2$
- Уравнение $x^3-2x^2y-xy^2+6y^3=0$ однородно: каждое ненулевое слагаемое рода 3. ($xy^2$ --> 1+2=3)
- Поделим каждое слагаемое на $y^3$ - это поможет устранить-учесть-использовать однородность!
- $\left(\frac{x}{y}\right)^3-2\left(\frac{x}{y}\right)^2-5\cdot \left(\frac{x}{y}\right)+6=0$ введем $t=\frac{x}{y}$ - в нем вся однородность.
- $t^3-2t^2-5t+6=0$ (х и у исчезли!) $\Rightarrow$ есть корень $t=1$, значит можно факторизовать:
- подготовим $t^3-t^2-t^2+t-6t+6=0$ вынос за скобки $\left(t-1\right)\left(t^2-t-6\right)=0$
- разложим квадратное $\left(t-1\right)\left(t+2\right)\left(t-3\right)=0$ $\Leftrightarrow$ $t=1$ $t=-2$ $t=3$
- Вернемся к старым: $\frac{x}{y}=1$ $\frac{x}{y}=-2$ $\frac{x}{y}=3$ $x=y$ $x=-2y$ $x=3y$
- Осталось подставить эти "х от у" во второе уравнение системы $y^2-x^3=2$ и решать кубическое!
Пример 5: Решите систему $x+\sqrt{xy}-\sqrt{x^2+xy}=15$ ; $y+\sqrt{xy}-\sqrt{y^2+xy}=8$
- Род выражения - "совместная" степень выражения - как одна буква ... итоговая степень
- примеры: $\left[x^3y^2z\right]_r=3+2+1=6$ $\left[y+\sqrt{xy}-\sqrt{y^2+xy}\right]_r=1$ $\left[\sqrt{x^2y^4}\right]_r=\frac{2+4}{2}=3$
- Заметим ... все выражения системы однородные: . $\left[xy\right]_r=2$ $\left[\sqrt{xy}\right]_r=1$ $\left[\sqrt{y^2+xy}\right]_r=1$
- введем замену: $y=kx$, $\Rightarrow$ $x+\sqrt{kx^2}-\sqrt{x^2+kx^2}=15$ $kx+\sqrt{kx^2}-\sqrt{k^2x^2+kx^2}=8$
- Прелесть в однородности - вынос множителя за скобки,: - у всех слагаемых есть множитель $x$ в степени род!
- Для выноса $x$ ... два случая: I случай: $x>0$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x^2}=x$ II случай: $x<0$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x^2}=-x$
- I случай: $x>0$, $y>0$, $k>0$ $x\left(1+\sqrt{k}-\sqrt{1+k}\right)=15$ $x\left(k+\sqrt{k}-\sqrt{k^2+k}\right)=8$
- Поделим одно уравнение на другое: "учет однородности" - выражение от $x$ сократится, останется только от $k$.
- $\frac{1+\sqrt{k}-\sqrt{1+k}}{k+\sqrt{k}-\sqrt{k^2+k}}=\frac{15}{8}$ $\Rightarrow$ $k>0$, $\frac{1+\sqrt{k}-\sqrt{1+k}}{\sqrt{k}\left(1+\sqrt{k}-\sqrt{1+k}\right)}=\frac{15}{8}$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{15}{8}$ $\Rightarrow$ $k=\frac{64}{225}$
- Аналогично рассмотрить второй случай. Главное: из-за однородности $x$ в степени род сократится!
Упражнения (A):
Упражнения (В):
Упражнения (С):