Однородные тригонометрические уравнения
Отличительные признаки однородных уравнений:
- все одночлены имеют одинаковую степень,
- свободный член равен нулю,
- в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3\sin\left(x-3\pi\right)$
- упростим по формулам приведения, получим однородное $\sqrt{3}\cos\left(x\right)=-3\sin\left(x\right)$ $\Leftrightarrow$
- поделим обе части на синус $\frac{\sqrt{3}\cos\left(x\right)}{\sin x}=-\frac{3\sin\left(x\right)}{\sin x}$ $\Leftrightarrow$ превратим в котангенс, справа сократим
- $\sqrt{3}\cdot\ctg x=-3$ $\Leftrightarrow$ перенесем числа $\ctg x=-\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow$ Ответ: $x=-\frac{\pi}{6}+\pi\cdot n$
Пример 2: Решить уравнение $4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t=\cos^2t$
- если заменить $\sin t$ и $\cos t$ на $X$ и $Y$ $\Rightarrow$ $4\cdot X^2-3\cdot X\cdot Y=Y^2$ то каждое слагаемое это многочлен 2-ой степени.
- однородное уравнение - все слагаемые в одинаковой степени. род уравнения равен степени слагаемых.
- однородные уравнения удобно решать методом деления на одну из функций в степени, равной роду уравнения.
- поделим обе части на квадрат синуса $\frac{4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\frac{\cos^2t}{\sin^2t}$ $\Leftrightarrow$ "раскроем" дробь $\frac{A-B}{M}=\frac{A}{M}-\frac{B}{M}$
- $\frac{4\cdot\sin^2t}{\sin^2t}-\frac{3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2$ $\Leftrightarrow$ сократим, упростим, используя тождество $\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a $. Сведем к котангенсу
- $4-3\ctg x=\ctg^2x$ . получили: 1 аргумент, 1 функция. далее: метод замены.
Пример 3: решить уравнение $2\sin ^25x+5\sin 5x\cdot \cos 5x-3\cos ^25x=0$
- Однородное 2-го рода - это квадратичная форма. Разложим на множители
- Угадаем, какие должны быть коэффициенты по форме $\left(2\sin5x+?\cos5x\right)\left(?\sin5x+?\cos5x\right)=0$
- Путем отслеживания чисел легко получить разложение уравнения: $\left(2\sin5x-\cos5x\right)\left(\sin5x+3\cos5x\right)=0$
- $2\sin5x-\cos5x=0$ $2\sin5x=\cos5x$ $\tg5x=\frac{1}{2}$ $5x=\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\pi n$ $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$
- $\sin5x+3\cos5x=0$ $\sin5x=-3\cos5x$ $\tg5x=-3$ $5x=-\arctg\left(3\right)+\pi n$ $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$
- Ответ: $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$ $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$
Интерактивная Доска
Упражнения: