Точки экстремумов функции, min-max, Наибольшее и наименьшее значение

Из $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0+0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+0,01-x_0}$ выразим значение функции чуть правее точки $x_0$ : $f\left(x_0+0,01\right)\approx f\left(x_0\right)+0,01f'\left(x_0\right)$.
Значит, функция будет иметь большее значение правее от $x_0$ , если только $f'\left(x_0\right) > 0$.

Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее. Из $f'\left(x_0\right)\approx\frac{f\left(x_0-0,01\right)-f\left(x_0\right)}{x_0-0,01-x_0}$ $\Rightarrow$ $f\left(x_0-0,01\right)\approx f\left(x_0\right)-0,01\cdot f'\left(x_0\right)$ $\Leftrightarrow$ понятно почему поведение функции левее $x_0$ зависит от знака производной в точке $x_0$.

Итак:

если $f'\left(x_0\right) > 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция растет (см. слева направо).
если $f'\left(x_0\right) < 0$ то $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ $\Rightarrow $ функция убывает, график идет вниз.
если $f'\left(x_0\right)=0$ то ситуации более запутанные: при $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция "выше", чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
В случае $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$, $x=x_0$ - точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.

Определение: Точка, в которой производная обнуляется, называется экстремумом (минимум, максимум, перегиб). В этой точке наклон графика равен нулю, т.е. касательная к графику горизонтальна.

Точка максимума - если функция растет, "застывает" в $x_0$" , затем убывает. Производная функции больше нуля, в $x_0$ обнуляется, затем отрицательна.

Точка минимума наоборот - если функция убывает, "застывает" в $x_0$" , затем растет. Производная меньше нуля, равна нулю в $x_0$", затем положительна.

Нахождение точки минимума (максимума) функции $y=f\left(x\right)$:

Точка минимума - это $x$ - число, в котором производная равна нулю, а сама исходная функция от убывания переходит к возрастанию. Надо "взять" производную исходной функции и составить уравнение экстремума "производная равна нулю". Среди точек экстремума найти точку минимума.

Есть три способа:

по поведению "рост / убывание" исходной функции ;
либо поведение "отрицательности / положительности" производной;
либо знак второй производной в этой точке; если 2-ая производная ("производная от производной") в точке $x_0$ положительна, то это минимум.

min: $f'\left(x_0\right)=0$ , $f\left(x_0-0,01\right) > f\left(x_0\right) < f\left(x_0+0,01\right)$ , $f'\left(x_0-0.01\right) < 0$ , $f'\left(x_0+0.01\right) > 0$ ; $f''\left(x_0\right) > 0$.

max: $f'\left(x_0\right)=0$ , $f\left(x_0-0,01\right) < f\left(x_0\right) > f\left(x_0+0,01\right)$ , $f'\left(x_0-0.01\right) > 0$ , $f'\left(x_0+0.01\right) < 0$ ; $f''\left(x_0\right) < 0$.

Пример 1: Найти точки экстремума функции $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ . ;

$f'\left(x\right)=\left(x^3-3x+2\right)'=3x^2-3$ находим производную от нашей функции
$f'\left(x\right)=0$ $3x^2-3=0$ $x=1\ x=-1$ решаем уравнение экстремума
Ранее мы нашли интервалы монотонности и знаем, где возрастание переходит в убывание и наоборот!
$x=-1$ точка максимума: слева интервал возрастания, справа убывания
$x=1$ точка минимума: слева интервал убывания, справа возрастания.

Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции $y=f\left(x\right)$ на указанном отрезке [ a ; b ] :

1) надо найти все точки экстремумов ("взять" производную, приравнять к нулю и найти корни);

2) выбрать среди точек экстремума те, которые окажутся "внутри отрезка" [ a ; b ];

3) вычислить в них значения исходной функции, вычислить также значения функции в концах отрезка. Среди полученных чисел выбрать наибольшее.

Точки - кандидаты на наибольшее : либо концы отрезка, либо экстремумы, попавшие в отрезок.

Пример 2: Найти наибольшее значение функции $y=\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)+1$ на отрезке [-3 ; 0]

$f'\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2$ - производная функции.
$2\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+2\right)^2=0$ - уравнение экстремума. Корни $x=-2$ , $x=0$.
$x=-2$ и $x=0$ - точки экстремума данной функции.
$f\left(-3\right)=-3$ $f\left(-2\right)=1$ $f\left(0\right)=-3$ - значения функции в концах и экстремумах.
Наибольшее значение $y_{naibolshee}=1$ достигается в точке $x=-2$ .

Обозначения множеств, областей

$D_f$ область определения функции
$Z_f$ область знакопостоянства, интервалы положительности, отрицательности
$M_f$ области монотонности функции, интервалы возрастания, убывания
$X_f$ экстремумы функции, перечисление х - точек
$T_f$ уравнение касательной к функции в указанной х - точке
$E_f$ области значений функции, все у - значений

Задание №11 ЕГЭ, профиль:

Решать в Mathematicos

Задание 11: Экстремумы. Наибольшее значение функции

ЕГЭ Математика (профильный)

Экстремумы. Наибольшее значение функции

Задание 11: Экстремумы. Наибольшее значение функции

Точки экстремумов функции, min-max, Наибольшее и наименьшее значение

Обозначения множеств, областей

Задание №11 ЕГЭ, профиль: