I.   Угол. Биссектриса. Медиана. Высота

• Смежные углы имеют общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжениями друг друга в разные стороны от вершины.     Вертикальные углы имеют общую вершину, а каждая сторона одного угла является продолжением стороны второго угла. Смежные углы прикладываются друг к другу одной общей стороной. А другие стороны - противоположные лучи. Если стороны одного угла направить ровно в противоположное направление от вершины, то получится вертикальный с ним угол.

Теорема:    Сумма смежных углов равна развернутому углу – 180 градусов.

Теорема:   Вертикальные углы равны.    При наложении такие углы полностью совпадут, совместятся.

Теорема:   Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее: ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ; ТеоремаТеорема    *      соответственные углы равны ; ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;

                 

Факты о углах и параллельных:        Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу. Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм односторонных углов не выполняются равенство 180.        В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы.         Что секущая?       В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. - внутренные односторонные.     Что секущая?     В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. - внутренные односторонные. Что секущая?      Еще о углах:          Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.    Сумма углов треугольника 180 градусов .          Достроить параллельную, увидеть секущую!

Биссектриса угла    – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.     Биссектриса угла треугольника – это   отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.         Медиана    треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.     Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Точка попадания высоты на противоположную сторону называется   основанием высоты.      Высота АР,      опущенная из точки А   на отрезок ВС:   это перпендикуляр   АР к линии ВС,   точка Р называется основанием высоты и лежит на линии ВС.    Длина высоты АР - кратчайщее расстояние от точки А до линии ВС.

Медианы      пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в соотношении   $2:1$,      $\frac{AO}{OM}=\frac{2} {1}$    

Средняя линия        параллельна   стороне треугольника и   равна половине   "своей"   стороны       $ME=\frac{AB}{2}$

Главное свойство биссектрисы: каждая точка на биссектриссе равноудалена от сторон угла.

Факты:       Медианы пересекаются в центре тяжести. Треугольник в равновесии, если иголка держит в центре тяжести.         Медианы делят стороны пополам.         Конец медианы равноудален от двух вершин треугольника.          Медиана делит треугольник на два треугольника с равной площадью (на равновеликие треугольники).           Средняя линия треугольника связывает серидины двух сторон треугольника. Параллельна третьей стороне.           Все биссектрисы пересекаются в одной точке - в центре вписанной окружности ("застрявший мяч").          Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.           Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.           Высоты перпендикулярны своим сторонам.      Каждая высота составляет со стороной угол 90 градусов.         Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется   ортоцентр.         Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

II.   Все о треугольниках

          

• Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центр вписанной окружности.
• Все высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентр.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке - центр тяжести.
• Все срединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центр описанной окружности.
• Если   треугольники   имеют   одинаковые    высоты, то   их    площади   относятся   как   основания.      
  
• Медиана   треугольника    делит   его на   равновеликие    треугольники,   отношение   площадей   $1:1$ .
• Все медианы разрезают треугольник на $6$ кусков, площади каждого равны $1:6$ площади всего треугольника.
• Связь   тригонометрии   тупых   углов    $90 < \alpha < 180$    с    тригонометрией    острых     выражается   формулами:
      $\sin\alpha=\sin\left(180-\alpha\right)$           $\cos\alpha=-\cos\left(180-\alpha\right)$        $\tg\alpha=-\tg\left(180-\alpha\right)$        $\ctg\alpha=-\ctg\left(180-\alpha\right)$

Теорема:    Сумма всех углов треугольника равна развернутому углу – 180 градусов.

Теорема:    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия        параллельна   стороне треугольника и   равна ее половине     $ME=\frac{AB}{2}$

Три медианы треугольника    пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в пропорции     2 : 1.

Теорема бисектрис:   она делит сторону на два отрезка, пропорциональных другим двум сторонам треугольника.

Площадь треугольника:      высота:   $S=\frac{1}{2}ah$.         синус:   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C$         радиус вписанной окружности:   $S=p\cdot r$           радиус описанной окружности   $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$     формулу Герона        $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.   

Теорема Косинусов     $AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos ACB$     Квадрат стороны треугольника равен   сумме квадратов двух других его сторон     минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.            

Теорема Синусов     $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$     Отношения "сторон любого треугольника" к "синусу   своего   противолежащего угла" постоянны для всех сторон   и равны    дважды радиусу   описанной    окружности.          ,    

           

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным      называется треугольник, у которого две   стороны равны. Равные стороны   называются   боковыми или ребрами , третья сторона является основанием .   Вершина равнобедренного – вершина из которой выходят боковые стороны.    Равносторонний    треугольник – треугольник, у которого все стороны равны. Все углы 60 градусов.

Свойство симметрии:    Ось зеркальной симметрии: Высота     $BH=h$      является   и   медианой и   биссекрисой. углы при основании   равнобедренного   треугольника   равны между собой. боковые стороны равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

Ось симметрии делит сторону и угол пополам.      Высоты, опущенные на боковые стороны   $AB$ и   $BC$   равные.        Медианы,   проведенные к   боковым сторонам   $AB$ и   $BC$     равные.    Биссектрисы   углов   при основании     $\angle A$    и    $\angle C$    равные.    Углы при основании   равнобедренного   треугольника   равны между собой       Теорема    И наоборот, если у треугольника два угла равные, то такой треугольник равнобедренный.     В равнобедренном треугольнике достаточно ли знать один из углов, чтоб найти все остальные углы?

Формулы   для   правильного   треугольника   со стороной    $a$

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=2r$,        $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$,       $a=\sqrt{3}R$,        $a=2\sqrt{3}r$,         $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,     $h=3r=1,5R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Свойства   равносторонних , равнобедренных,   прямоугольных треугольников:

      

III.   Все о прямоугольном треугольнике

Теорема     Площадь   прямоугольного треугольника     $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$   .        Площадь = катет * катет : 2 .

Теорема Пифагора    Квадрат гипотенузы   равен сумме квадратов катетов      $AB^2=AC^2+BC^2$.

Медиана к гипотенузе     равен половине гипотенузы   прямоугольного треугольника   

Высота к гипотенузе     делит на два подобных прямоугольных треугольника, поэтому ....   

Напротив 30 град катет     прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.   

Радиус вписанной окружности     прямоугольного треугольника равен    $r=\frac{a+b-c}{2}$   

Радиус описанной окружности     $R=\frac{c}{2}$ равен половине гипотенузы, центр в середине гипотенузы.

Определение:       В прямоугольном треугольнике тригонометрическими функциями острых углов   называются     числа:             синусом       угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе,      $\sin\alpha=\frac{a}{c}$                  косинусом   угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе,         $\cos\alpha=\frac{b}{c}$          тангенсом   угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему,    $\tg\alpha=\frac{a}{b}$       котангенсом   угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему,      $\ctg\alpha=\frac{b}{a}$

         

Формулы:,     Заие.         $\sin A=\frac{BC}{AB}$                $\cos A=\frac{AC}{AB}$                         $\tg A=\frac{BC}{AC}$                          $\ctg A=\frac{AC}{BC}$             Заие.         $\cos B=\frac{AC}{AB}$                $\cos B=\frac{BC}{AB}$                  $HC=AC\cdot\sin A$                $\frac{HC}{BC}=\frac{AC}{AB}$              $\angle ACH=\angle B$ Заче.         $S=\frac{a\cdot b}{2}$                         $S=\frac{AB\cdot CH}{2}$                  $HC=BC\cdot\sin B$                $\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{AB}$              $\angle BCH=\angle A$

Тождества:      $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$      ;        $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$        ;        $\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .             Формула приведения    тупых углов          $90 < \alpha < 180$       к смежным острым углам       $180-\alpha$ .    $\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(180-\alpha\right)$                               $\cos\left(\alpha\right)=-\cos\left(180-\alpha\right)$ ,   $\tg\left(\alpha\right)=-\tg\left(180-\alpha\right)$ ,   $\ctg\left(\alpha\right)=\ctg\left(180-\alpha\right)$        синус тупого угла   такой же!   косинус,   тангенс,    котангенс    тупого    -     со знаком    "минус"! ....   как у "своего смежного, острого" .

Еще Формулы:,          $\sin^2a=\frac{\tg^2a}{1+\tg^2a}$           $\cos^2a=\frac{1}{1+\tg^2a}$         $\tg^2a=\frac{\sin^2a}{1-\sin^2a}$        $\tg^2a=\frac{1-\cos^2a}{\cos^2a}$

• "О сумме острых углов":     в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
• "О $30^o$":    в прямоугольном с углом   $30^o$   катет напротив этого угла равен половине гипотенузы. Если к такому треугольнику
  про приложить точно такой же получится равностронный   с углами   $60^o$    и   катет напротив    $30^o$ окажется ровно половиной
  про стороны равностороннего ,а значит это катет    $a=\frac{c}{2}$    ;   другой катет легко получить по теореме Пифагора :   $b=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ .
• "О $45^o$":    прямоугольный    $\bigtriangleup$    с острым углом   в   $45^o$   является равнобедренным   ; его гипотенуза       $c=\sqrt{2}$ * катет.
• "О равнобедренном прямоугольном треугольнике":    углы при основании равны    и   их сумма равна     $90^o$      $\Rightarrow$
  про оба угла по    $45^o$;     катеты равны и по т. Пифагора    $a^2+a^2=c^2$    $\Rightarrow$   оба   катета      $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}c$      и      $c=\sqrt{2}a$ .
• "О высоте в прямоугольном":    $h$   проведенная из угла $90^o$ делит исходный треугольник на два   ему подобных.
  про Ведь высота поделила треугольник на два прямоугольных треугольника ,   причем   с   одинаковыми   острыми   углами ,
  про потому что , если одни из острых углов треугольников совпадают, а   их сумма двух   $90^o$ ,   то и другие совпадут        $\Rightarrow$
  про все эти треугольники подобные между собой и исходному.
• "Еще о высоте " :    высота     равна    среднегеометрическому    отрезков,   на которые она   делит   гипотенузу:
  про    $CH=h=\sqrt{AH\cdot BH}$    ,     $h\cdot c=a\cdot b$ .
• "О медиане, проведенной к гипотенузе" :    она    равна   половине гипотенузы    $CM=\frac{AB}{2}$   , а так же   радиусу
  про    описанной окружности   $CM=R$.     Точка $M$   на гипотенузе   равноудалена от всех трех вершин.

              

IV.   Все о подобии треугольников

Теорема О трех признаках подобия двух треугольников. Два треугольника подобны, если:

Признак I.   Равенство двух углов.   Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:     $\angle A=\angle A_1$ , $\angle B=\angle B_1$ $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак II.   Пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними". Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны:   $\angle A=\angle A_1$ ,   $\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$   $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак III.   Пропорциональность трёх сторон. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны:    $\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$    $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

Замечание, о главном в подобиях:

• О самом важном при подобии треугольников: какие составы углов? равные? какие стороны соответственные, схожие?
• Соответственные стороны (иногда говорят сходственные ) - это стороны, которые в пропорциях делятся друг на друга.
• Пропорция: сторона a одного треугольника, деленная на соотвественную (сходственную) a сторону второго треугольника.

Коэффициентом      подобия треугольников называется отношение соответственных сторон       $k=\frac{AC}{A_1C_1}$

• Отношение всех соответствующих отрезков     $k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=\frac{h_c}{h_{c1}}=\frac{m_b}{m_{b1}}=\frac{b_a}{b_{a1}}$ .
• Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон первого и второго треугольников.
  
• Квадрат   коэффициента подобия говорит об отношении площадей      $k^2=\frac{S}{S_1}$.
• Как меняются длины (отрезки, дуги) при подобии?   Увеличиваются в   $k$ - раз. Одномерные -   $D^1$ - размерность ;
• Как соотносятся площади при подобии?    Увеличиваются в    $k^2$ - раз. Двумерные - $D^2$ ;
• Каково отношение объемов при подобии?    Увеличиваются в    $k^3$ - раз. Трехмерные - $D^3$ - размерность ;
• Что не меняется при подобии?     Угол.    $k^0$ - раз.    0 - мерные - $D^0$ .   Угол = дуга/радиус.

Теорема о медианах. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в пропорции 2 : 1.

Теорема о высоте в прямоугольном и проекциях катетов на гипотенузу. Высота делит треугольник на два подобных между собой и исходному треугольнику.    Квадрат высоты равен произведению отрезков: $BD^2=AD\cdot CD$.       Или, иначе ... Высота прямоугольного треугольника равна средне-геометрическому частей гипотенузы, на которые делит гипотенузу.

Теорема бисектрис.     Биссектриса угла делит сторону треугольника на два отрезка, пропорциональных другим двум сторонам треугольника, ....    прилежащим к этому углу $\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}$ - направление от верхних к нижним.

V.   Все о четырехугольниках

Прямоугольник - четырехугольник,    все   углы которого прямые     $90^o$    и    противоположные    стороны    равны.

Квадрат    -   это прямоугольник, у   которого    все   стороны   равны .

Свойства прямоугольника:    1.        Противоположные стороны равны. 2.        Противоположные стороны параллельны. 3.        Прилегающие стороны    перпендикулярны друг другу.   4.        Диагонали   прямоугольника   равны. 5.        Диагональ   делит   прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. 6.        Квадрат диагонали   равен   сумме квадратов двух прилежащих его сторон. 7.        Точка пересечения диагоналей   делит   их пополам, является    центром прямоугольника

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные    стороны   параллелограмма   параллельны   и    равны    $AB=CD$    ,     $BC=AD$ .
• Противоположные     углы    параллелограмма    равны   $\angle A=\angle C$ ,      $\angle B=\angle D$ .
  
• Сумма углов   параллелограмма,   прилежащих   к    одной стороне,   равна $180^o$ :    $\angle A+\angle B=180$     ,     $\angle A+\angle D=180$ .
• Диагонали образуют   равные   накрест   лежащие   углы:       $\angle CAD=\angle ACB$      ;      $\angle BAC=\angle ACD$.
• В точке    пересечения   диагоналей   $O$   образуются   равные вертикальные углы    $\angle AOD=\angle BOC$ ; $\angle AOB=\angle COD$ .
• Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам    $AO=OC=\frac{AC}{2}$      ,       $BO=OD=\frac{BD}{2}$ .
• Формулы, Диагонали:    A - острый:   большая    $AC^2=a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot\cos A$ ;       меньшая      $BD^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos A$ .
• Теорема: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон : $AC^2+BD^2=2\cdot\left(a^2+b^2\right)$. {: .small} _   Параллелограмм   можно разрезать и собрать прямоугольник.   диагональ   делит   параллелограмм   на   два   равных   треугольника        площадь параллелограмма = 2 раза площадь треугольника.

Площадь   параллелограмма:       любая высота      $S=a\cdot h$.           через синус:   $S= a\cdot b\cdot\sin C$

   

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• "Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное - узнать его в движении, при изменениях:"      Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей - ромб совместится с самим собой. Симметрия.    Отразим ромб зеркально по диагонали - новый ромб совпадет с прежним. Симметрия. Отразим ромб зеркально по другой диагонали - ромб совпадает с самим собой. Симметрия.     Замечание: Если "зряче видим" центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас "в кармане".

Свойства ромба:

• Ромб симметричен относительно точки O - пересечения диагоналей.      O - центр симметрии.
• Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ - ось симметрии.
• У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
• Противолежащие углы    равны   $\angle A=\angle C$ ,   $\angle B=\angle D$ . Прилежащие       $\angle A+\angle B=180^o$   ,    $\angle A+\angle D=180^o$.
• Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=\frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=\frac{BD}{2}$.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $\bigtriangleup$ треугольники.
• Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $\bigtriangleup$ треугольники.
• Диагонали ромба являются    биссектрисами углов - делят углы пополам.
• Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
• Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
• Сумма квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4\cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
• Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Площадь   ромба:   высота      $S=a\cdot h$      синус угла         $S=a^2\cdot\sin A$      диагонали    $S=\frac{AC\cdot BD}{2}$ .

      

Квадрат - одновременно   прямоугольник, ромб, параллелограмм

• Площадь квадрата равна квадрату стороны:       $S=a^2$
• Выразить через сторону квадрата:    диагональ    $d=\sqrt{2}a$,    радиус вписанной     $r=\frac{a}{2}$,   радиус описанной        $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Трапеция   -   это четырехугольник,   у    которого    две    противоположные    стороны    параллельны.

Факты,   Свойства и Формулы трапеции:

• Параллельные   стороны   называются   основаниями,     $BC \parallel AD$ .   Другие две - боковыми сторонами.
• Сумма односторонных углов при боковой стороне равна   $180^{\circ}$ :   $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$    ,       $\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$.
• Диагональ   является   секущей   к   паралелльным   основаниям    $\Rightarrow$   равные   накрест лежащие углы:    $\angle BCA=\angle CAD$.
• При пересечении диагоналей (т. $O$) образуются вертикальные углы $\angle BOC=\angle AOD$ и смежные $\angle AOB+\angle BOC=180^{\circ}$.
• В равнобедренной трапеции оба диагоналя одинаковые. Образуют у оснований равнобедренные треугольники.
• Средняя линия трапеции (соединяющий середины боковых) параллельна основаниям и равна их полусумме   $\frac{a+b}{2}$ .
• Важно: Высоты   на   основания     $BH=h$ , $CK=h$   равны и отсекают прямоугольные треугольники.
• Высоты   делят основание на три части   $AD=AH+HK+KD$ , причем средняя $HK=BC=a$ равна верхнему основанию .
• В равнобедренной трапеции слева и справа отрезки равны:    $AH=KD$ и равны полуразности оснований    $AH=KD=\frac{b-a}{2}$
• В прямоугольной трапеции $\angle A=90^{\circ}$   левое $AH=0$, а правый отрезок   $KD=b-a$ равен разности оснований

Формулы:     Площадь трапеции       $s=\frac{a+b}{2}\cdot h$       ,      $s=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH$     -   " произведение   полусуммы оснований на высоту" .       Площадь трапеции       $s=MN\cdot h$     -   " произведение   средней линии   на   высоту" .

• Средняя   линия   соединяет   середины    боковых   сторон    - она параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
• Диагонали   делят   трапецию на $4$ треугольника, из которых   левый   и правый - равновеликие, их площади одинаковы.

      

Сумма всех углов любого выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Площадь любого четырехугольника:   $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin \angle \left(d_1;d_2\right)$ - половина произведения диагоналей на синус угла между диагоналями.

VI.   Все о окружности

• Хорда         –     отрезок,   соединяющий   две любые точки на окружности.
• Диаметр       -     отрезок проходящий   через центр,   наибольшая из хорд.
  
• Радиус         -    отрезок от центра   до   любой   точкой   окружности.
  
• Секущая        -    линия, пересекающая окружность в двух точках.
• Касательная        -    линия, пересекающая окружность в одной точке, точке касания.
• Касательная        -    она же "предельная" секущая, две точки пересечения которой слиплись в одну точку касания.
• Центральный угол     в   окружности - угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.
• Дуга окружности ,    соответствующей центральному углу - часть окружности внутри плоского угла.
• Градусная мера     дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла.
• Вписанный угол - вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).
• Внутренний угол        -    угол, образований двумя хордами, вершина внутри окружности.
• Внешний угол        -    угол, образований двумя секущими, вершина вне окружности..

Теорема   Вписанный угол равен   половине   центрального    угла, что опирается    на ту же дугу.

Теорема   Вписанный угол равен   половине   градусной меры той дуги, на которую угол опирается .

Теорема   Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусов. ... _прямоугольный ...._

• $\angle BAC=\frac{\angle BOC}{2}=\frac{BC^o}{2}$       $\angle BAD=\frac{\angle BOD}{2}=\frac{BD^o}{2}$       $\angle DAC=\frac{\angle DOC}{2}=\frac{DC^o}{2}$
• Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
• Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

• при пересечении двух хорд образуются две подобные треугольники. из-за равенства вписанных углов.

Теорема об углах, образованных   пересекающимися   хордами          Внутренний Угол , образованный   при пересечении хорд     равен   половине суммы дуг, отсеченных   этими хордами.

Теорема   об отрезках пересекающихся хорд         Хорды   делят   друг   друга    на    отрезки :      произведение   отрезков    одной    хорды   равен произведению    отрезков    другой   хорды .

Теорема о произведении отрезков пересекающихся   хорд       Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

     

• Если из одной внешней точки выпустить две секущие к окружности, то образуются две подобные треугольники. из-за равенства вписанных углов.

Теорема о двух секущих и углу между ними      Угол между двумя секщими, исходящими из одной точки,    равен   половине   разности дуг, заключенными   между секущими.

Теорема о двух секущих и получившихся отрезках         Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть     $AK\cdot AM=AC\cdot AB$ .

Теорема о произведении отрезков двух секущих       Произведение    длин   отрезков   секущих   до    первой   и   второй   точек   пересечения с окружностью есть число постоянное.

• Если секущую "сдвигать" так, что ее две точки пересечения будут сближаться ... в конце концев секущая превратится в касательную.
• Две касательные из одной точки вместе с радиусами образуют равные прямоугольные треугольники.

Теорема о Радиусе:         Радиус,    проведенный в точке касания касательной,    перпендикулярен касательной.

Теорема о касательных из одной точки : Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема о угле между касательной и хордой:     равен половине дуги, заключенной между ними.

Теорема о касательной и секущей           Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

VII.   Вписанные и описанные окружности

Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих сторон угла   - это   биссектриса.

Свойства вписанной окружности :      Центр   вписанной   окружности в   угол     находится в точке, принадлежащей   биссектрисе. Центр равноудален от сторон угла.      Центр   вписанной   окружности в   треугольник   - точка пересечения биссектрис. Центр равноудален от каждой стороны.   Центр   вписанной   окружности в   любую фигуру лежит на пересечении биссектрис. Центр равноудален от всех сторон.Не во всякий многоугольник   можно   вписать окружность - совсем не факт , что его биссектриссы пересекутся в одной точке . Но уж , если окружность впишется , то Каждая сторона является касательной к окружности. Радиус, проведенный к точке касания на стороне   перпендикулярен этой стороне.

Теоремы о вписанной окружности в треугольник.

• Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис и равноудален от сторон.
• Радиус, проведенный к точкам   касания сторон   перпендикулярен им :    $\angle OKB=\angle OMA=\angle ONC=90$   .
• Радиус   вписанной   в треугольник окружности    вычисляется    как      $r=\frac{S}{p}$       ,        $S=p\cdot r$.
• Точки касания делят стороны на попарно равные отрезки (касательные из вершин):    $AM=AN$ ,    $BM=BK$ , $CK=CN$ .
• Площадь   треугольника через   его стороны        $S_{ABC} =S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC} = \frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}+\frac{c\cdot r}{2}$   .

Теоремы о вписанной окружности в четырехугольник.

• Центр вписанной окружности четырехугольника   находится на пересечении биссектрис и равноудален от сторон.
• Радиус, проведенный   к точкам   касания сторон   перпендикулярен им .
• Радиус   вписанной   в четырехугольник окружности    вычисляется      как        $r=\frac{S}{p}$       ,        $S=p\cdot r$.
• Отрезки сторон - касательные до точек касания, проведенные из одной вершины    попарно   равны.
• Попарные суммы противоположных сторон равны      $AB+CD=BC+AD$   (из-за равных касательных).
• В четырехугольник можно вписать окружность   "если только" суммы противоположных сторон равны.
  

Теоремы о вписанной окружности в многоугольник.

• Центр вписанной окружности многоугольника    находится на пересечении биссектрис и равноудален от сторон.
• Радиус, проведенный   к точкам   касания сторон   перпендикулярен им .
• Радиус   вписанной   в многоугольник окружности    вычисляется      как        $r=\frac{S}{p}$       ,      $S=p\cdot r$.
• Отрезки сторон - касательные до точек касания, проведенные из одной вершины    попарно   равны.

       

Геометрическое   место   точек,   равноудаленных   от двух точек   -    серединный   перпендикуляр   этого   отрезка.

Теоремы   об   описанной   окружности    вокруг   треугольник

• Центр   описанной   вокруг   треугольника   окружности находится на пересечении   серединных   перпендикуляров сторон.
• Радиус   описанной вокруг треугольника окружности:     $R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}$   ;      $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}$ .
•    Теорема Синусов   через радиус      $\frac{\sin\angle A}{a}=\frac{1}{2R}$      ;        $\frac{\sin\angle B}{b}=\frac{1}{2R}$      ;        $\frac{\sin\angle C}{c}=\frac{1}{2R}$

Теоремы   об описанной    окружности    вокруг   четырехугольника

• Центр   описанной   вокруг   четырехугольника   окружности находится на пересечении   серединных   перпендикуляров сторон.   
• Вокруг   четырехугольника   окружность можно описать тогда и только тогда , когда    суммы    противоложных    углов   четырехугольника    равны    180 градусов :    $\angle A+\angle C=180=\angle B+\angle D$   

Вокруг   каких   четырехугольников   можно    описать   окружность? *      Вокруг   прямоугольников   и   квадратов ... Да!    Прочие    параллелограммы   и   ромбы   - Нет! *      Только   вокруг   равнобедренной   трапеции можно   описать окружность.

Формулы   для   правильного   многоугольника   со стороной    $a$   и   числом   сторон $n$

Правильными   называют   многоугольники, у   которых   равны   все стороны   и   все углы.

• Увидеть свойства: Центр соеидиним с каждой вершиной. На сколько треугольников поделилось? Все они равнобедренные? Угол при вершине = 360 : количество треугольников! У основания треугольников какие углы? Каков угол многоугольника, два раза больше чем у треугольников?
• Угол одного сектора, между соседными радиусами, равен       $\angle AOB=2\beta=\frac{360^0}{n}$ .
• Каждый угол правильного $n$ - угольника       $\frac{180\cdot\left(n-2\right)}{n}$ .         Сумма всех углов       $180^0\cdot\left(n-2\right)$.
• Радиус   описанной   окружности      $ R=OB=\frac{CB}{\sin\beta}=\frac{a}{2\cdot\sin\frac{180^0}{n}}$   .
• Радиуса   вписанной   окружности      $r=OC=\frac{CB}{\tg\beta}=\frac{a}{2\cdot\tg\frac{180^0}{n}}$ .
• Формулы   для   правильного   треугольника   со стороной    $a$          $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=2r$,        $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$,       $a=\sqrt{3}R$,        $a=2\sqrt{3}r$,         $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,     $h=3r=1,5R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

          

VIII.   Все о площади

Еще о площади - объединенная формула    

• Площадь прямоугольника   складывается из   составляющих   его    кусков-квадратиков.   площадь прямоугольника    =      ширина * высоту .
• Параллелограмм   ... отрезания треугольника   и приставлением   к   другой. площадь параллелограмма   так же   равна    =   ширина * высоту.
  
• Ромб - особый вид параллелограмма, с равными сторонами.            Квадрат одновременно и ромб, и параллелограмм, и прямоугольник.

        

• K треугольнику приставить такой же треугольник. получится параллелограмм,     площадь треугольника   =    "средняя ширина" * высоту».
  
• Трапецию   можно разрезать на 2   треугольника и   их   средние линии   сложатся в одну   "среднюю ширину"   трапеции     
  
• площадь трапеции   =    "средняя ширина" * высоту .           "Средняя ширина"   как    половина   от   «верхней»   и   «нижней».
  
• Tоже самое для    треугольника , "верхняя ширина = 0 "   здесь ноль,   а "нижняя" - просто   основание.   треугольника = трапеция с точкой!

           

Универсальная   формула     площади   фигуры   - «Произведение средней ширины на высоту».

Еще о площадях фигур и о сравнении   площадей    фигур:

• У    "параллелограммо - образных"    фигур     (ромб, квадрат, прямоугольник)   площади    находятся   одинаково:     
  2.          $S=a\cdot h$   -   основание на высоту       ;         $S=a\cdot b\cdot\sin A$   -    сторона   на   сторону и   синус   угла   между   ними.
• У   "островершинных   фигур"   (треугольник, сектор)    формулы    площади всё те же   ,   но с коэффициентом $1/2$
  2.          $S=\frac{1}{2}ah$    -    так же основание на высоту, но пополам .
• Ну и конечно, надо знать формулу Герона о площади треугольника через   стороны:       $s=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.      
  
• Архиважно свойство аддитивности: "площадь целой фигуры равна сложению площадей своих кусков"
• Если   треугольники   имеют   одинаковые    высоты, то   их    площади   относятся   как   основания.      
  
• Медиана   треугольника    делит   его на   равновеликие    треугольники,   отношение   площадей   $1:1$ .
• Диагонали   трапеции   образуют   4 треугольника:   отношение площадей   боковых   $1:1$ ;
  2.          отношение   площадей у оснований   равно отношению самих   оснований.
  
• Можно достроить искомую фигуру до прямоугольника,   найти   площади   всех   получившихся    дополнительных   фигур.
• Площадь искомой фигуры   равна   Площадь   прямоугольника    минус   Сумма площадей всех лишних фигур.
• Две фигуры называются равновеликими, если у них одинаковые, равные площади.
• Способ   получения   или   доказательства    формулы    площади   той   или   иной   фигуры    состоит   в    "разрезании" этой   фигуры   на    кусочки   и    "пересобирании"   этих   кусочков   так,   чтобы   получилась   фигура   с    уже    известной площадью.
• В итоге,   получается    единный    взгляд    на   понятие    площадь    фигуры,   как    "переcбор"    составляющих   кусочков:
• Площадь "прямой" фигуры   равна    произведению   "усредненной ширины" на высоту    или      $S=a\cdot h$.
• Площадь "остроконечной" фигуры   равна половине произведения "средней ширины"   на   высоту:   $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$
• "Прямые" - прямоугольник, параллелограмм, квадрат, ромб, трапеция      "Остроконечные":    треугольник, сектор, круг, трапеция    
  
• Теорема    Площадь   прямоугольного треугольника     $S_{ABC}=\frac{a\cdot b}{2}$    -       "половина произведения катетов" .
• Теорема    "Через любую высоту": площадь любого треугольника   $S_{ABC}=\frac{a\cdot h}{2}$       -   "половина произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону".
• Свойство    Треугольники с одним и тем же основанием и одинаковыми высотами имеют равные площади -   равновеликие.
• Свойство    Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники, с одинаковыми высотами и сторонами.
• Формула Герона: Площадь треугольника через стороны с включением полупериметра           
  $S=\sqrt{p\cdot\left(p-a\right)\cdot\left(p-b\right)\cdot\left(p-c\right)}$      ,   где     полупериметр     $p=\frac{1}{2}\cdot\left(a+b+c\right)$
• Площадь любого четырехугольника:   $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin \angle \left(d_1;d_2\right)$ - половина произведения диагоналей на синус угла между диагоналями.

Еще одна Универсальная   формула     площади   фигуры   - «Произведение средней ширины на высоту».   если   фигура "с наклоном",   то   {Цвет:#8B0000 Произведение "средней ширины * на высоту   и на синус угла наклона».

• для параллелограмма, ромба:    "произведение сторон на синус угла", так и для их диагоналей.
• Для треугольника   формула    перефразируется     в    половина от   стороны * на сторону * на синус угла между ними.
• для любого четырехугольника получим   половина произведения диагоналей на синус угла между ними.
• для площади сектора, рассмотреть   его    как   кривой треугольник,    "средняя дуга-ширина" * на высоту-радиус
• Площадь   кольца   равна    полусумме   дуг * на "высоту – разность радиусов".
• «На глаз» <площадь   любой   фигуры   равна   произведению   "усредненной ширины" на высоту.

Окружность, Круга, Сектор, Сегмент, Кольцо:    

Длина окружности равна   удвоенному   произведению   числа "пи" на радиус     $L=2\pi\cdot r$      $L=\pi\cdot D$

Площадь круга равна произведению "пи" на квадрат радиуса    $S=\pi\cdot r^2$      число     $\pi\approx3,1415625$

Площадь сектора равен половине произведения длины дуги на радиус окружности     $S=\frac{1}{2}\cdot l\cdot r$

Площадь сектора равен половине произведения угла в радианах на квадрат радиуса окружности     $S=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$

Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутренного кругов $S=\pi\cdot\left(R^2-r^2\right)$

Площадь сегмента равен разности площадей сектора и треугольника     $S=\frac{1}{2}\cdot (\alpha - \sin \alpha)\cdot r^2$

Всё   об отношении, сравнении   площадей    фигур :

• Если   треугольники имеют общий   угол, то   несложно   выполнить    сравнение   их   площадей   через   общий   синус.
• Отношение   площадей   треугольников   с   общим   углом   равно   произведению   отношений
  2.          соответствующих   сторон   этих   треугольников.
  
• Любой   многоугольник   можно   разбить   на   треугольник   и ,таким образом,   выполнять сравнение.
• Площади   подобных   треугольников   относятся   как   квадрат   коэффициента   подобия.
• Если   треугольники   имеют   одинаковые    высоты, то   их    площади   относятся   как   основания.      
  
• Любая линия из вершины треугольника делит так, что площадей частей равно отношению отрезков разделенной стороны.
• Медиана   треугольника    делит   его на   равновеликие    треугольники,   отношение   площадей   $1:1$ .
• Диагонали   трапеции   образуют   4 треугольника:   отношение площадей   боковых   $1:1$ ;
  2.          отношение   площадей у оснований   равно отношению самих   оснований.
  

Теорема        Биссектриса угла треугольника рассекает противоположную сторону на части, пропорциональные   прилежащим    сторонам.            $\Rightarrow$       $\frac{m}{n}=\frac{b}{c}$

Свойство        Биссектриса угла треугольника делит треугольник на части, площади которых пропорциональны   прилежащим    сторонам.       $\frac{S_{ACL}}{S_{ABL}}=\frac{b}{c}$

Свойство        Медиана делит треугольник на части с одинаковыми площадями. Все медианы делят треугольник на 6 частей с одинаковыми площадями

Свойство        Высота делит треугольник на части, отношение площадей которых равны отношению отрезков разделенной стороны.

Свойство        Любая линия из вершины треугольника делит треугольник на части, отношение площадей которых равны отношению отрезков разделенной этой линией стороны.

Задания: