Решение уравнений методом разложения на множители

Уравнение      -     это равенство двух выражений с неизвестной переменной.

Решить уравнение     -    значит найти те числа,   которые вместо иксов   уравнивают    два выражения .

  • Как находить решения уравнения? Посмотреть: какие числа надо поставить вместо иксов, чтоб после вычислений оба сравнялись.
  • Подумать: нет ли еще каких-то чисел, которые могут уравнять обе части уравнения? Надо находить все такие!
  • Если напрямую не удается найти такие числа, то как можно "переделать" уравнение в такой вид, чтоб можно было "угадать" решения.
  • Такие способы "переделок" называются эквивалентными преобразованиями. Цепочка эквивалентных называется   шагами решения.
  • Эквивалентным шагом является перенос слагаемого из одной части в другую с заменой знака на противоположный.
  • Также эквивалентен перенос множителя из одной в другую "как деление".   Число, которое уравнивало" - также будет уравнивать!
  • Еще: замена одного выражения на другое, ему тождественно равное . Например: открытие скобки, применение формулы .

Пример 1:                  Решить уравнение              $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)=0$        

  • Произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ равно 0 лишь тогда, когда какая-либо скобка станет 0, "обнулится".
  • Как найти х - числа такие, чтоб произошло нужное обнуление?   Надо решить два простых уравнения:
  • $x+4=0$             перенесем слагаемое 4 вправо, поменяв знак        $x=-4$
  • $5-3x=0$          перенесем слагаемое        $3x=5$        перенесем множитель 3 делением           $x=\frac{5}{3}$
  • При х - числах   $x=-4$ и   $x=\frac{5}{3}$ произведение $(x+4)\cdot\left(5-3x\right)$ становится нулём!
  • ответ:      $x=-4$         $x=\frac{5}{3}$    

Пример 2:                  Решить уравнение              $(8-x)\cdot\left(2x+7\right)=0$        

решением уравнения являются те числовые значения   $x$, при которых обе части уравнения выравниваются.

каким может быть    $x$ ,     чтобы произведение   скобок равнялось нулю? Одна из них 0? иначе никак.

Опорный факт:    Если произведение $A\cdot B \cdot C$ =    $0$     тогда либо    $A$,    либо $B$,    либо $C$       =     $0$

Правило:    уравнение " произведение    =    $0$ "    разбивается на случаи: каждый множитель     =     $0$

Разбиение на 2 случая: приравняем содержимое каждой скобки к нулю. и, решаем каждое уравнение по отдельности.

случай 1          $8-x=0$             $\Leftrightarrow$        $x=8$

случай 2          $2x+7=0$          $\Leftrightarrow$        $2x=-7$         $\Leftrightarrow$            $x=-3.5$

ответ:      $x_1=8$         $x_2=-3.5$    

Способ    разбиения уравнения, разложения на множители:

  • шаг 1:             Обнулить правую часть уравнения, перенести все слагаемые влево.    "левая часть =   $0$".
  • шаг 2:             Разложить, вынести множители за скобки, превратить левую часть в произведение.   " = $0$".
  • шаг 3, 4 ... :             Рассмотреть случаи: для каждого составить уравнения      "множитель = $0$".
  • далее:               Решать получившиеся более мелкие уравнения.                  ответ:    собрать все полученные решения..

Решение   квадратного   уравнения   разложением,   вынесением   за   скобку

Уравнение   вида     $ax^2+bx=0$:     решается   вынесением общего множителя    $x$    за скобку.   

После   вынесения    уравнение $x\cdot\left(ax+b\right)=0$    распадается на два уравнения, 2 случаи.

Уравнение   вида     $ax^2=cx$:      решается   переносом    $cx$    влево и вынесением общего   множителя.   

После   приведения   к   виду      $ax^2-cx=0$   выносим множитель   $x$   за   скобки и решаем 2 случая.

Пример 3:                  Решить уравнение              $6x^2–2x=0$ ;

  • вынесем   общий   множитель   за   скобки:      $2x\cdot(3x – 1)=0$ ;       распад на два случая:    

  • $2x=0$     $\Rightarrow$   корень    $x=0$ ;

  • $3x–1=0$      перенесем 1 вправо, поделим на 3.    $\Rightarrow$   корень      $x=\frac{1}{3}$                  

  • ответ:   соберем все решения:         $x_1=0$ ;        $x_2=\frac{1}{3}$

Пример 4:                  Решить уравнение              $50x^2-7x=0$       

  • вынесем   общий   множитель   $x$   за   скобку, получаем      $x\cdot\left(50x-7\right)=0$.    

  • уравнение   распадается   на   два   случая. Каждый   множитель   приравниваем к   $0$.    

  • 1-й:     $x=0$ ;        2-й:   $50x-7=0$     решаем   и   получаем      $x=\frac{7}{50}$

  • ответ:          $x_1=0$             $x_2=0.14$

Пример 5:                  Решить уравнение              $4x^2=10x$

  • Через   сокращение    $x$   решать   это   уравнение   нельзя,   т.к.   потеряется   корень   $x=0$.
  • Правильное   решение   -   перенести   всё   в   одну   часть,   затем   вынести   неизвестное   за   скобку

Уравнение   вида     $(ax)^2=c^2$:      решается применением формули разности квадратОВ.   

После переноса и разложения по формуле приведится   к   виду      $(ax-c)(ax+c)=0$ . Далее решаем 2 случая.

Пример 6:                  Решить уравнение              $9x^2-16=0$        

  • Разложим      $9x^2-16$    на множители по формуле "разность квадратОВ".
  • $(3x-4)\cdot\left(3x+4\right)=0$
  • Произведение двух скобок равно нулю. Значит, два случая - каждую скобку приравняем к нулю:
  • $3x-4=0$      перенос слагаемого   $3x=4$       перенос множителя,      решение:       $x=\frac{4}{3}$
  • $3x+4=0$      перенос слагаемого   $3x=-4$      перенос множителя,     решение:       $x=-\frac{4}{3}$
  • ответ:       $x=\frac{4}{3}$         $x=-\frac{4}{3}$   

Пример 7:      Решить уравнение              $(3-x)\cdot\left(4x+6x^2\right)\cdot\left(x^2-1\right)=0$        

  • Произведение скобок равно нулю. Для каждого множителя напишем уравнение "обнуления" и решим каждое.   
  • Каждое такое уравнение "скобка = 0" пишем в отдельной строке и решаем по - шагово.   
  • Соберем ответы со всех уравнений: они появились на шагах   №2,   №6,   №10,   №14,   №16.

  • №1          $3-x=0$

  • №2                             $x=3$

  • №3          $4x+6x^2=0$

  • №4                             $2x(2x+3)=0$
  • №5                                            $2x=0$
  • №6                                                     $x=0$
  • №7                                            $2x+3=0$
  • №8                                                     $2x=-3$
  • №9                                                     $x=-\frac{3}{2}$
  • №10                                                   $x=-1,5$
  • №11         $x^2-1=0$
  • №12                             $(x-1)(x+1)=0$
  • №13                                            $x-1=0$
  • №14                                                      $x=1$
  • №15                                            $x+1=0$
  • №16                                                      $x=-1$
  • ответ:      $x=3$       $x=0$      $x=-1,5$      $x=-1$       $x=1$

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: