Основы тригонометрии: угол, единичная окружность, синус, косинус.

Единичная Тригонометрическая окружность

Синус угла $\alpha $ - это   у - координата соответствующей точки   $T_{\alpha }$ на Е.Т.О :       $\sin \alpha =y$     $T_{\alpha }=\left(x;y\right)$

Косинус угла $\alpha $ - это   х - координата соответствующей точки   $T_{\alpha }$ на Е.Т.О :      $\cos \alpha =x$       $T_{\alpha }=\left(x;y\right)$

Тангенс угла $\alpha $ - это отношение    у - координаты к    х - координате соответствующей точки   $T_{\alpha }$ на Е.Т.О          $\tg \alpha =\frac{y}{x}$

Котангенс угла $\alpha $ - это отношение   х - координаты к у - координате соответствующей точки   $T_{\alpha }$ на Е.Т.О       $\ctg \alpha =\frac{x}{y}$

Единичная тригонометрическая окружность Е.Т.О.    -   используется для удобного изображения углов в виде точек на окружности.

Радиус   равен   единице.      $OA=OB=OC=OD=1$ .      Е.Т.О.   снабжен   координатными   осями:   ось    $x$   -   абсциса
направлена по   $OA$   направо.   $y$   -   ордината   вдоль   $OB$   вверх.   Начало   координат     ($0$ ; $0$)     находится в центре   $O$.
Начало отчета углов из правой точки    $A$    ( $0$ градусов).    Для   отмерения   угла   радиус   проворачивается   из   начального
положения   $A$    для   положительных   углов   вверх,   против   часовой   стрелки.   Для отрицательных углов надо крутить из
$A$   вниз,    по часовой стрелке пока раскрой угла не станет требуемым.

                       

Какому углу какая точка соответствует на Е.Т.О ?

$60$   градусам   соответствует   точка   $M$ .      Из   точки   $A$    вверх   так,   чтоб   угол   $MOA$    стал    $60^0$ .
$135$     градусов   попадает   в   точку    $P$ .    Радиус   провернем   от    $OA$   вверх,   против   часовой    стрелки   до    $OP$,
чтоб    угол    $POA$     стал     $135^0$ .       $-90$   градусов    попадает   на   точку     $D$ .     Поворот   из      $A$     по   часовой   стрелке.
$DOA=90$ .      $210$     градусов . от   $OA$   вверх,   против   часовой    стрелки   мимо   точек    $K$,   $M$,   $P$,   $B$,   $L$,   $C$   и
доберемся   до   $N$,    угол    $NOA=210^0$ .                  "$+$"     -     против часовой стрелки.
Проследим за нужными поворотами, "прокрутками" и убедимся в соответствии углов и точек:
$0=A$               $30=K$          $45=M$            $60=P$             $90=B$            $135=L$          $180=C$           $210=N$           $270=D$
$300=S$       $-60=S$       $-90=D$       $-150=N$       $-180=C$       $-225=L$       $-270=B$       $-330=K$       $-360=A$

Радианная мера угла -      длина   дуги   Е.Т.О.   от   начала   отсчета   $A$    до   соответствующей   этому   углу   точки.

знак   определяется    по   направлению   поворота.     "$+$"   -   против   часовой   стрелки.       "-"   -    по   часовой.

Угол   $135^0$   описывает дугу   $AL$,   длина которой равна   $AL=AB+BL=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$.   Значит   $135^0=\frac{3\pi}{4}$   радиан.

Один   полный   оборот   -   $360$   градусов      соответствует   длине   окружности    Е.Т.О.         $2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi$.
Пол - оборота    -    $180$    градусов ,   дуга    $AC$,   длина   дуги     $=\frac{2\pi}{2}=\pi$     радиан .
Четверть   оборота    -   $90$    градусов ,   дуга    $AB$,     $=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$     радиан.
$45=\frac{\pi}{4}$    -    дуга    $AM=\frac{AB}{2}=\frac{0.5\pi}{2}$ .     $30=\frac{\pi}{6}$   -    дуга   $AK=\frac{AB}{3}=\frac{0.5\cdot\pi}{3}$ .      $60=\frac{\pi}{3}$    -    дуга    $AP=2\cdot AK=2\cdot\frac{\pi}{6}$.
$-60$   градусам   соответствует   дуга    $AS$ .   С   учетом   длины   дуги   и   знака   (оборот   по   часовой   стрелке,   минус),
получаем:   $-60=-\frac{\pi}{3}$ .      $-90=-\frac{\pi}{2}$     (дуга $AD$) .      $-150=-\frac{5\pi}{6}$    (дуга $AN$,   проходящая   через   $D$    $150=5\cdot30$).
$-180=-\pi$      (дуга   $AC$,   снизу   через   $D$) .     $-225=-\frac{5\pi}{4}$ ,     поворот   из   $A$   по   часовой   стрелке,   через   низ
$AL=AD+DC+CL=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ .

Формула связи градусов и радиан:        $a$ $град=a\cdot\frac{\pi}{180}$     рад               $1=\frac{\pi}{180}$                $360=2\pi$               $\frac{\pi}{2}=90$

                                              $180=\pi$            $\frac{\pi}{6}=30$            $-\frac{2\pi}{3}=-120$            $15=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{1}{12}\pi$            $540=540\cdot\frac{\pi}{180}=3\pi$    

Упражнения для освоения урока



Послесловие:

  1. Надо   научиться   легко   переводить   градусную   меру   в   радианную   и   наоборот.

  2. Уметь находить для угла соответствующую точку на Е.Т.О; определять в какую четверть попадает угол, в верхнюю или нижнюю   часть Е.Т.О.

  3. Для всех   "хороших" углов быстро находить   координаты   точки на Е.Т.О.

Нахождение,   изображение   углов   точками   на   Е.Т.О.

Обратите внимание, что :

значение    $\approx$   $1$   рад   соответствует   углу     $\frac{11\pi}{36}$;

значение    $\approx$   $2$   рад   соответствует   углу     $\frac{23\pi}{36}$;

значение   $\approx$   $3$   рад   соответствует   углу     $\frac{35\pi}{36}$;

Длина   половины   окружности   равна   $\pi\approx3,14$.

Длина   всей   окружности   равна   $2\pi\approx6,28$.