Единичная Тригонометрическая окружность
Синус угла $\alpha $ - это у - координата соответствующей точки $T_{\alpha }$ на Е.Т.О : $\sin \alpha =y$ $T_{\alpha }=\left(x;y\right)$
Косинус угла $\alpha $ - это х - координата соответствующей точки $T_{\alpha }$ на Е.Т.О : $\cos \alpha =x$ $T_{\alpha }=\left(x;y\right)$
Тангенс угла $\alpha $ - это отношение у - координаты к х - координате соответствующей точки $T_{\alpha }$ на Е.Т.О $\tg \alpha =\frac{y}{x}$
Котангенс угла $\alpha $ - это отношение х - координаты к у - координате соответствующей точки $T_{\alpha }$ на Е.Т.О $\ctg \alpha =\frac{x}{y}$
Единичная тригонометрическая окружность Е.Т.О. - используется для удобного изображения углов в виде точек на окружности.
Начало отчета углов из правой точки $A$ ( $0$ градусов). Для отмерения угла радиус проворачивается из начального положения $A$ для положительных углов вверх, против часовой стрелки. Для отрицательных углов надо крутить из $A$ вниз, по часовой стрелке пока раскрой угла не станет требуемым.
Какому углу какая точка соответствует на Е.Т.О ?
$60$ градусам соответствует точка $M$ . Из точки $A$ вверх так, чтоб угол $MOA$ стал $60^0$ . $135$ градусов попадает в точку $P$ . Радиус провернем от $OA$ вверх, против часовой стрелки до $OP$, чтоб угол $POA$ стал $135^0$ . $-90$ градусов попадает на точку $D$ . Поворот из $A$ по часовой стрелке. $DOA=90$ . $210$ градусов . от $OA$ вверх, против часовой стрелки мимо точек $K$, $M$, $P$, $B$, $L$, $C$ и доберемся до $N$, угол $NOA=210^0$ . "$+$" - против часовой стрелки. Проследим за нужными поворотами, "прокрутками" и убедимся в соответствии углов и точек: $0=A$ $30=K$ $45=M$ $60=P$ $90=B$ $135=L$ $180=C$ $210=N$ $270=D$$300=S$ $-60=S$ $-90=D$ $-150=N$ $-180=C$ $-225=L$ $-270=B$ $-330=K$ $-360=A$
Радианная мера угла - длина дуги Е.Т.О. от начала отсчета $A$ до соответствующей этому углу точки.
знак определяется по направлению поворота. "$+$" - против часовой стрелки. "-" - по часовой.
Угол $135^0$ описывает дугу $AL$, длина которой равна $AL=AB+BL=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$. Значит $135^0=\frac{3\pi}{4}$ радиан.
Один полный оборот - $360$ градусов соответствует длине окружности Е.Т.О. $2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi$. Пол - оборота - $180$ градусов , дуга $AC$, длина дуги $=\frac{2\pi}{2}=\pi$ радиан .Четверть оборота - $90$ градусов , дуга $AB$, $=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ радиан. $45=\frac{\pi}{4}$ - дуга $AM=\frac{AB}{2}=\frac{0.5\pi}{2}$ . $30=\frac{\pi}{6}$ - дуга $AK=\frac{AB}{3}=\frac{0.5\cdot\pi}{3}$ . $60=\frac{\pi}{3}$ - дуга $AP=2\cdot AK=2\cdot\frac{\pi}{6}$. $-60$ градусам соответствует дуга $AS$ . С учетом длины дуги и знака (оборот по часовой стрелке, минус), получаем: $-60=-\frac{\pi}{3}$ . $-90=-\frac{\pi}{2}$ (дуга $AD$) . $-150=-\frac{5\pi}{6}$ (дуга $AN$, проходящая через $D$ $150=5\cdot30$). $-180=-\pi$ (дуга $AC$, снизу через $D$) . $-225=-\frac{5\pi}{4}$ , поворот из $A$ по часовой стрелке, через низ $AL=AD+DC+CL=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ .
Формула связи градусов и радиан: $a$ $град=a\cdot\frac{\pi}{180}$ рад $1=\frac{\pi}{180}$ $360=2\pi$ $\frac{\pi}{2}=90$
Упражнения для освоения урока
Послесловие:
-
Надо научиться легко переводить градусную меру в радианную и наоборот.
-
Уметь находить для угла соответствующую точку на Е.Т.О; определять в какую четверть попадает угол, в верхнюю или нижнюю часть Е.Т.О.
-
Для всех "хороших" углов быстро находить координаты точки на Е.Т.О.
Нахождение, изображение углов точками на Е.Т.О.
Обратите внимание, что :
значение $\approx$ $1$ рад соответствует углу $\frac{11\pi}{36}$;
значение $\approx$ $2$ рад соответствует углу $\frac{23\pi}{36}$;
значение $\approx$ $3$ рад соответствует углу $\frac{35\pi}{36}$;
Длина половины окружности равна $\pi\approx3,14$.
Длина всей окружности равна $2\pi\approx6,28$.