Разложение на множители квадратных выражений

Как-то спросили: "зачем такое мудренное название".   -    Чтобы прониклись важностью, значимостью!

Во-первых,      эти методы разложений применяются фактически всюду:    8 класс - квадратные уравнения, НОК алгебраических дробей,    9 класс - рациональные неравенства,    10 класс - показательные и тригонометрические уравнения, неравенства методом замены,    11 класс - однородные выражения,    I курс - кривые второго порядка, интегралы простых форм,    II курс - факторизация квадратичных форм, алгебра делителей

Во-вторых:      Все-таки "факторизация" шире, чем просто "разложения":   подразумевает увидеть факторы, делители, конструкцию "целое - его кусочки, корни", добиться легкости получения факторов, как элементарных составляющих

Разложение квадратного трехчлена угадыванием

Пример 1:          Разложить на множители квадратный трехчлен      $x^2+4\cdot x-21$

  • Ищем разложение как     представление     в форме умножения двух скобок       $\left(x+?\right)\left(x+?\right)$
  • Ребус: Какие числа поставить вместо знаков "?", "?" так, чтобы после раскрытия скобок получилось    $x^2+4\cdot x-21$
  • ... проследите как открываются скобки ....   умножение этих чисел должно привести к   $-21$, а сложение к   $4$.
  • Легко угадать "чисто перебором", что таковыми будут числа    -7    и   3:      верно    $\left(x-3\right)\left(x+7\right)=x^2+4\cdot x-21$
  • процесс решения          $x^2+4\cdot x-21$       =        $\left(x+?\right)\left(x+?\right)$       =        $\left(x-3\right)\left(x+7\right)$   
  • замечание:    очевидно, что числа -7 и 3 являются корнями уравнения     $x^2+4\cdot x-21=0$,
  • т.к. уравнение при таком разложении распадается на обнуляющиеся факторы:       $\left(x-3\right)$    и     $\left(x+7\right)$

Пример 2:          Разложить на множители трехчлен      $5x^2-14\cdot x-3$

  • Ищем разложение как     представление     в форме      $\left(5x+?\right)\left(x+?\right)$     ...    множитель   5    нужен для   $5x^2$
  • Какие числа вместо "?", "?"        ... умножение этих чисел $-3$, а комбинация    $5\cdot ?+?$   должно дать    $-14$
  • Угадать "чисто перебором" и чисел и знаков, что это числа    -1    и   3:      верно    $\left(5x-1\right)\left(x+3\right)=5x^2-14\cdot x-3$
  • процесс решения      $5x^2-14\cdot x-3$         =        $\left(5x+?\right)\left(x+?\right)$         =        $\left(5x-1\right)\left(x+3\right)$ .       
  • факторы:          $\left(5x-1\right)$   и    $\left(x+3\right)$,     корни    уравнения     $\frac{1}{5}$    и   $-3$,

Пример 3:          Разложить на множители трехчлен      $6x^2+7\cdot x-20$

  • Ищем представление     в форме      $\left(2x+?\right)\left(3x+?\right)$     ...    множители 2 и 3    нужны для   $6x^2$.    А может 6 и 1 ?
  • Каковы   "?", "?"        ... умножение дает $-20$, а комбинация    $2\cdot ?+3\cdot ?$   должно привести к    $7$
  • Угадываем "чисто перебором вариантов" - числа    5    и   -4:      верно    $\left(2x+5\right)\left(3x-4\right)=6x^2+7\cdot x-20$
  • процесс решения         $6x^2+7\cdot x-20$       =        $\left(2x+?\right)\left(3x+?\right)$       =        $\left(2x+5\right)\left(3x-4\right)$ .         
  • факторы:          $\left(2x+5\right)$   и    $\left(3x-4\right)$,     корни    уравнения     $\frac{4}{3}$    и   $-2,5$,

Разложение квадратного трехчлена по корням уравнения

Теорема Виета о разложении:      если      $x_1$ ,   $x_2$        корни уравнения       $ax^2+bx+c=0$ ,     тогда верно тождество                $ax^2+bx+c=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$

  • Квадратное выражение через свои корни разлагается на множители.   множители обнуляются при    $x$   равном одному из корней.
  • доказательство:        раскроем скобки, перемножим слагаемые в правой части тождества
  • $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=\left(x-x_1\right)\cdot\left(ax-ax_2\right)=ax\left(x-x_1\right)-ax_2\left(x-x_1\right)=a\cdot x^2-ax_1\cdot x-ax_2\cdot x+ax_1\cdot x_2=$
  • группируем,    приведем   $x-$     подобные,       $=a\cdot x^2+\left(-ax_1-ax_2\right)\cdot x+a\cdot x_1\cdot x_2=a\cdot x^2-a\left(x_1+x_2\right)\cdot x+a\cdot x_1\cdot x_2=$
  • воспользуемся   теоремой Виета "о сумме и произведении корней"      $=a\cdot x^2-a\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)\cdot x+a\cdot\frac{c}{a}=ax^2+bx+c$      ч.т.д.

Пример 4:           Разложить на множители выражение:              $-3x^2+7x+10$

  • Какие корни у этого квадратичного выражения?     какие решения у квадратного уравнения      $-3x^2+7x+10=0$ ?
  • Найдем через дискриминант:     $D=7^2-4\cdot 10 \cdot (-3)=169$ .   корни $x_1=\frac{-7+\sqrt169}{2\cdot (-3)}=-1$ $x_1=\frac{-7-13}{(-6)}=\frac{10}{3}$
  • Тогда, по корням и коэффициенту     $a=-3$     составим разложение       по теореме    Виета       разложении":
  • $-3x^2+7x+10=-3\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-\frac{10}{3}\right)$                  если   еще   упростить,     то       $=\left(x+1\right)\left(10-3x\right)$

Алгоритм нахождения корней квадратного трехчлена найзусть - угадывания корней:

  • основано на    Теорема: если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
  • Надо посмотреть на свободный коэффициент целочисленного квадратного уравнения; Перечислить все его делители.
  • перебирая их и разные, возможные знаки ... искать и найти $2$ числа, обнуляющие квадратный трехчлен.

Пример 5:                  Разложить      $y^2+y-12$ .

  • Выписать все делители свободного члена      $\pm1$,   $\pm2$,   $\pm3$,   $\pm4$,   $\pm6$,   $\pm12$.       Надо   найти   два   числа   таких,   чтобы
  • произведение было    $+12$,   а   сумма    $-1$.   Перебрать разные пары и докопаться до двух чисел    $3$    и    $-4$ .
  • разложим квадратный трехчлен         $y^2+y-12=\left(y-3\right)\left(y+4\right)$
  • Еще примеры:
  • $x^2+4\cdot x-21$      делители $21$:    корни       $x=3$      и    $x=-7$Б    факторы $\left(x-3\right)$   и    $\left(x+7\right)$
  • $x^2+2\cdot x-63$      делители $63$:    корни      $x=7$      и    $x=-9$,    факторы $\left(x-7\right)$   и    $\left(x+9\right)$
  • $x^2+10x-39$      делители $39$:    корни       $x=13$      и    $x=-3$,    факторы $\left(x-13\right)$   и    $\left(x+3\right)$

     

Разложение квадратных двухчленов

Пример 6:          Разложить на множители путем выноса за скобки, по формулам:

  • $5x^2-12x$    = ...    вынесем общий множитель   $x$ за скобки ...   =    $x\cdot (5x-12)$
  • $7x-x^2$    = ...    вынесем общий множитель   $x$ за скобки ...   =    $x\cdot (7-x)$
  • $16-x^2$    = ...    разложим по формуле разности квадратов   ...   =    $(4-x)\cdot (4+x)$
  • $4x^2-25$    = ...    разложим по формуле разности квадратов   ...   =    $(2x-5)\cdot (2x+5)$
  • $x^2-9a^2$    = ...    разложим по формуле разности квадратов   ...   =    $(x-3a)\cdot (x+3a)$

Разложение, факторизация квадратных форм

Пример 7:          Разложить на множители квадратную форму $2a^2+7ab-15b^2$:

  • Ищем представление     по форме      $\left(2a+?b\right)\left(a+?b\right)$          ...       множитель 2 диктуется из-за   $2a^2$.
  • Каковы   "?", "?"        ... при открытии скобки как получатся    $-15b^2$, а    $7ab$ ?
  • Перебором числовых вариантов придем к результату:           $2a^2+7ab-15b^2=(2a+3b)\cdot (a-5b)$
  • квадратичная форма состоит из    факторов       $(2a+3b)$      и    $(a-5b)$
  • Кстати: корнями уравнения $2x^2+7x-15=0$    являются числа    $-\frac{3}{2}$    и    $5$
  • функция     $2x^2+7x-15$   называется характеристической функцией квадратичной формы    $2a^2+7ab-15b^2$

Пример 8:          Разложить на множители   $3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x$:

  • Преобразуем к виду однородной:   $3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x=3\cdot (2^x)^2-17\cdot (2^x)\cdot (3^x)+10\cdot (3^x)^2$
  • Ищем представление     по форме факторов           $\left(3\cdot 2^x+?\cdot 3^x\right)\left(2^x+?\cdot 3^x\right)$          ...       
  • Каковы   "?", "?" чтобы при открытии скобки получилось требуемое   $3\cdot (2^x)^2-17\cdot (2^x)\cdot (3^x)+10\cdot (3^x)^2$ ?
  • Перебором числовых коэффициентов придем к результату:           $3\cdot 4^x-17\cdot 6^x+10\cdot 9^x=\left(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\right)\left(2^x-5\cdot 3^x\right)$
  • Исходное показательное выражение состоит из    факторов       $\left(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\right)$      и    $\left(2^x-5\cdot 3^x\right)$
  • Такое разложение нам поможет эффективно решать уравнения и, особенно, неравенства.

Пример 9:          Разложить на множители   $\sin^2x+\sin x\cdot\cos x-6\cdot\cos^2x$:

  • Тригонометрическое выражение имеет вид однородного порядка 2 . Суммарная степень каждого слагаемого - квадрат.
  • Ищем представление     по форме факторов           $\left(\sin x-2\cdot\cos x\right)\left(\sin x+3\cdot\cos x\right)$          ...       
  • Каковы   "?", "?" чтобы при открытии скобки получилось требуемое ......
  • Перебором коэффициентов придем к результату:           $\sin^2x+\sin x\cdot\cos x-6\cdot\cos^2x=\left(\sin x-2\cdot\cos x\right)\left(\sin x+3\cdot\cos x\right)$
  • Исходное тригонометрическое выражение состоит из    факторов       $\left(\sin x-2\cdot\cos x\right)$      и    $\left(\sin x+3\cdot\cos x\right)$
  • Такое разложение нам поможет эффективно решать уравнения: приравнивая к нулю каждый фактор по отдельности.

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения: