Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

При решении логарифмических уравнений, важно обращать внимание на аргументы и основания логарифмов входящих в уравнение.

Пример №1. Решить уравнение      

$\log_{2-\sqrt{3}}x+2\log_{7+4\sqrt{3}}\left(x+1\right)=2.$

Прежде всего разберемся с областью допустимых значений. Данное уравнение содержит два логарифма, поэтому О.Д.З. определяется из двух условий

$$ \begin{cases} x>0,\\ x+1>0.\\ \end {cases} $$ Очевидно, решением этой системы является $x>0.$ Итак, множество $x>0$ представляет собой О.Д.З. исходного уравнения. Обратим внимание, что аргументы логарифмов , входящих в уравнение различны. Различны также и основания этих логарифмов. В таких задачах следует все логарифмы, входящие в уравниение, привести к одному основанию. Вопрос, к какому основанию приводить все логарифмы, является важным и зависит от конкретной задачи. Выясним есть ли какая либо связь между основаниями указанных логарифмов. Заметим,что основание второго логарифма $7+4\sqrt{3}$ представляет собой квадрат числа $2+\sqrt{3}$, $7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2$. Кроме этого, из неравенства $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=1$ следует равенство $2-\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1}$. Таким образом, оба основания являются целыми степенями числа $2+\sqrt{3}.$ Учитывая это, запишем исходное уравнение в виде $\log_{\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1}}x+2\log_{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(x+1\right)=2.$ Далее, воспользовавшись свойством логарифма $\log_{a^m}b=\frac{1}{m}\log_ab$, найдем $-\log_{2+\sqrt{3}}x+\log_{2+\sqrt{3}}\left(x+1\right)=2.$ Таким образом, оба логарифма, входящие в уравнение, приведены к одному основанию. Далее, воспользуемся свойствами логарифмов и запишем последнее уравнение в виде $\log_{2+\sqrt{3}}\frac{x+1}{x}=2.$ Непосредственно из определения логарифма и последнего уравнения находим

$\frac{x+1}{x}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2$

Решая это уравнение, получим $x=\frac{1}{6+\sqrt{3}}.$ Очевидно, найденное значение входит в О.Д.З., следовательно является решением исходного уравнения.

Ответ:$\frac{1}{6+\sqrt{3}}$

Пример № 2.

$\log_2x+\log_3x=1.$

Очевидно, областью допустимых значений является множество всех положительных чисел. О.Д.З. $x>0$. Основаниями, логарифмов входящих в уравнение, являются числа $2$ и $3$. В отличие от предыдущего примера, эти основания не являются целыми степенями одного и того же числа. В таких случаях удобно переходить к одному из оснований. В данном примере, перейдем к основанию $2$. Для этого применим формулу перехода к новому основанию

$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}.$

В результате получим

$\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}=1.$ или $\log_2x\left(1+\frac{1}{\log_23}\right)=1.$

Непосредственно из свойств логарифма следует, что $1+\frac{1}{\log_32}=\log_26.$ Учитывая это в последнем уравнении, получим

$\log_2x\cdot\log_36=1.$

Из последнего уравнения находим $\log_2x=\frac{1}{\log_36}$ или $\log_2x=\log_63.$ Пользуясь определение логарифма, найдем $x=2^{\log_63}.$ Очевидно, найденное значение входит в О.Д.З., следовательно является решением исходного уравнения.

Ответ: $x=2^{\log_63}.$

Упражнения