Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Наиболее простым дробно-рациональным уравнением является уравнение вида $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ многочлены от переменной $x$. Любое дробно-рациональное уравнение может быть приведено именно к такому виду. Очевидно, областью допустимых значений для выражения $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ является множество всех $x$, для которых $Q\left(x\right)\ne 0.$ В таком случае, корнями уравнения $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$, являются все значения $x$, для которых выполняются условия $P\left(x\right)=0$ и $Q\left(x\right)\ne 0$. Иначе говоря, корнями уравнения $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$, являются те корни уравнения $P\left(x\right)=0$, которые входят в О.Д.З..

Пример № 1.                  $\frac{x^2+6x-7}{x-1}=0.$

Решение.      О.Д.З. $x-1\ne 0,\text{ }x\ne 1.$ Корнями исходного уравнения являются те значения $x$ из области допустимых значений, для которых $x^2+6x-7=0.$ Корнями этого квадратного уравнения являются $x=-7;\text{ }x=1.$ Очевидно, только первый корень входит в О.Д.З. Следовательно, корнем исходного уравнения является $x=-7.$

Абсолютно любое дробно-рациональное уравнение, путем стандартных преобразований можно привести к виду $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$, однако, в некоторых случаях такой необходимости нет, так как, может существовать более простой способ решения.

Пример №2.                  $\frac{x+2}{x-1}=\frac{2x+3}{3x+1}.$

Область допустимых значений определяется условиями $x-1\ne 0;3x+1\ne 0.$   Из этих условий имеем $x\ne 1;x\ne -\frac{1}{3}.$ Если, все члены уравнения сгруппировать в левой части, а затем привести к общему знаменателю, то получим уранение вида $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0,$ способ решения которого был описан выше. Однако, будет проще, если обе части уравнения уножить на общий знаменатель, который в нашем случае равен $\left(x-1\right)\left(3x+1\right).$ Этот общий знаменатель в О.Д.З. отличен от нуля, поэтому в О.Д.З. уравнение, полученное после умножения обеих частей на этот общий знаменатель, будет равносильным исходному уравнению. В результате умножения на $\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$ плучим

$\left(x+2\right)\left(3x+1\right)=\left(x-1\right)\left(2x+3\right).$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, последнее уравнение примет вид

$x^2+6x+5=0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $x=-5;x=-1.$ Оба полученных корня, входят в О.Д.З., следовательно, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x=-5;x=-1.$

Пример № 3

$\frac{^{x^3-6x^2+11x-6}}{x-1}=2x^2-3x-2.$

О.Д.З.     $x\ne 1.$ Очевидно, если все члены уравнения сгруппировать в левой части, а затем привести слагаемые к общему знамениателю, то получим уравнение вида $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0.$ Однако, будет проще, если обе части уравнения умножить на знаменатель $x-1.$ В результате получим уравнение $x^3-6x^2+11x-6=2x^3-5x^2+x+2.$ Отсюда имеем $x^3+x^2-10x+8=0.$ Итак, мы получили кубическое алгебраическое уравнение. Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения, тогда левую часть можно нацело разделить на двучлен $x-1.$ В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2+2x-8.$ Следовательтно, $x^3+x^2-10x+8=\left(x-1\right)\left(x^2+2x-8\right).$ Для нахождения корней кубического уравнения остается решить совокупность уравнеий

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x-1=0,\\ x^2+2x-8=0.\\ \end{array} $$

Решая эти уравнения, находим

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=1,\\ x=-4,\\ x=2.\\ \end{array}\\ $$

Из найденных корней, $x=1$ в О.Д.З. не входит, следовательно, корнями исходного уравнения являются $x=-4;x=2.$ Ответ: $x=-4;x=2.$

Задачи для самостоятельной работы.

  1. $\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{x}{x+3}$

  2. $\frac{x-1}{x-4}=\frac{x-2}{x-3}$

  3. $\frac{5}{x-3}+4x=3$

  4. $\frac{1}{x-5}+1=\frac{2}{7-x}$

  5. $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}=x+1$

  6. $\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{x}{x+4}$

  7. $3x+\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=3+\frac{5x^2-9x+4}{x^2-x}$

  8. $\frac{x^3-x^2+2x-3}{x-1}+\frac{x^2+5x-2}{x+2}=\frac{x^3+2x^2+2x+4}{x+1}$

  9. $x^2+x+\frac{4}{x^2+x}=5$

  10. $x^3+\frac{3}{x^3+x+1}=3-x$

  11. $2x^2-x+\frac{2}{2x^2-x}-3=0$

  12. $x^2-3x=5-\frac{4}{x^2-3x}$

  13. $\frac{2x^2-3x}{x-6}-1=\frac{x^2+3x}{x-6}$

  14. $\frac{3x^2-5x}{x-2}-2x-6=\frac{2}{x-2}$

  15. $x^2+3x=3-\frac{6}{x^2+3x+2}$

Упражнения