Теорема косинусов

Теорема косинусов    

Если в треугольнике даны   две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный.   Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по   2-му признаку равенства   треугольников.    Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья   сторона   должна   быть однозначно   определяема.

_____________________________________________________________________________________

Теорема косинусов    Квадрат стороны треугольника      равен     сумме квадратов двух
   
других сторон минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.
      
$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos ACB$

_____________________________________________________________________________________

Факты:

  • Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит,   и сам угол.
  • Если из трех сторон и одного   угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно   всегда вычислить.
  • Теорема косинусов   дает возможность   вычислять   медианы треугольника,   применяя теорему к малым треугольникам.
  • Для прямоугольного треугольника теорема косинусов    "упрощается"   до теоремы Пифагора       $AB^2=AC^2+BC^2$.

       

А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?

$\cos130=-\cos50$,    $\sin115=\sin65$ ,   $\tg135=-\tg45$.    

Связь   тригонометрии   тупых   углов    $90 < \alpha < 180$    с    тригонометрией    острых     выражается   формулами:      
     $\sin\alpha=\sin\left(180-\alpha\right)$           $\cos\alpha=-\cos\left(180-\alpha\right)$        $\tg\alpha=-\tg\left(180-\alpha\right)$        $\ctg\alpha=-\ctg\left(180-\alpha\right)$

Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $\alpha$ - острый;     если $b^2+c^2-a^2=0$, то   $\alpha$ - прямой;    если   $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $\alpha$ - тупой.

Расчет треугольников по теореме косинусов    

Задача 1:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $7\sqrt{3}$ см,   сторона   $BC$ равна $1$ см ,   угол $C$ = $150^o$ .          Найти   длину стороны   $AB$.

  • Решение:          Применим   теорему косинусов      $AB^2=\left(7\sqrt{3}\right)^2+1-14\sqrt{3}\cos150$ .
  • Тупой     угол    в $150^o$      выразим     через     острый :       $\cos150=\cos\left(180-30\right)=-\cos30=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.         $\Rightarrow$      
  • $AB^2=147+1-28\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$      ,         $AB^2= 148 + 21 = 169$           $\Rightarrow$                             Ответ:     $AB = 13$

Задача 2:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $17$ см,   сторона   $BC$ равна $14$ см ,   угол $ACB$ = $60^o$ .
                          Найти   длину третьей стороны   .

  • Решение:          Из   теоремы косинусов для угла    $\angle ACB$ :     $\Rightarrow$             $AB^2=17^2+14^2-2\cdot17\cdot14\cdot\cos60$                 $\Rightarrow$   
  • квадрат стороны      $AB^2= 289+196-238 = 247$           $\Rightarrow$           Ответ:     $AB = \sqrt{247}$

Задача 3:        В   $\bigtriangleup ABC$   известны   $AC=3$   , $BC=5$ см,    $AB=6$ .
     Найти   косинус   угла   $C$   и медиану    $BM$   .

  • Решение:          Из   теоремы   косинусов    для стороны    $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:   
  • $\cos ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{9+25-36}{30}=-\frac{1}{15}$   .      Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой   угол $>90^o$
  • Для нахождения    медианы   $ВМ$    распишем     еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника     $ВМС$   от угла $С$:
  • $BM^2=BC^2+MC^2-2\cdot BC\cdot MC\cdot\cos C$    учтем,   что     медиана   делит сторону   пополам    $MC=\frac{AC}{2}=1,5$
  • Подставим     $BM^2=25+2,25-2\cdot5\cdot1.5\cdot\left(-\frac{1}{15}\right)=27,25+1=28,25$,     получим      $BM=\sqrt{28,25}=0,5\sqrt{113}$    
  • Ответ:          $\cos ACB=-\frac{1}{15}$        ,    $BM=0,5\sqrt{113}$     .

Задача 4:        В прямоугольном   $\bigtriangleup ABC$   известны   $AB=9$ , $BC=3$ см ;    $M$ делит   $AB$ :      $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$.
                          Найти    $CM$   .

  • Решение:         По свойству     аддитивности    отрезка     $AM + MB = 9$ ,   по условию      $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$      $\Rightarrow$    $AM = 3$ ,    $MB = 6$
  • Из прямоугольного   $\bigtriangleup ABC$    по определению косинуса угла:       $\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$    .
  • Из     $\bigtriangleup CMB$       по теореме косинусов найдем   $CM$ :    $CM^2=CB^2+MB^2-2\cdot CB\cdot MB\cdot\cos B$       , подставим   числа
  • $CM^2=3^2+6^2-2\cdot3\cdot6\cdot\frac{1}{3}=33$      $\Rightarrow$    требуемый   отрезок     $CM=\sqrt{33}$      .             Ответ:          $CM=\sqrt{33}$

Задача 5:        Одна из сторон треугольника   больше   другой   на   $8$    см, а угол между ними $120^o$ .
                          Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны    $28$ см   .

  • Решение:     Метод введения неизвестного:    Обозначим   одну   из   сторон   треугольника как   $x$ ,
  • выразим нужные величины через х и составим уравнение:    величина   другой стороны будет равна    $x+8$ см.
  • По теореме косинусов:    $28^2=x^2+\left(x+8\right)^2-2x\cdot\left(x+8\right)\cdot\cos120$ ,   где      $\cos120=\cos\left(180-60\right)=-\cos\left(60\right)=-0,5$,
  • Итак, составили уравнение    $784=x^2+x^2+16x+64-2x\left(x+8\right)\left(-0,5\right)$               $\Rightarrow$          $3x^2+24x+720=0$
  • решим   квадратное уравнение : один корень отрицательный - не нужен ,    другой     $x=\frac{-24+96}{6}=12$        
  • Периметр    $P=12+\left(12+8\right)+28=60$.             Ответ:           $60$.

Задача 6:       В     $\bigtriangleup ABC$   известны   стороны    $a=15$ , $b=18$,   $c=25$ .          Найти:   углы   $α$,    $β$,    $γ$   (приближённо) .

  • Решение:         Углы    $α$    и    $β$     найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.            
  • $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем      $\cos\alpha=\frac{18^2+25^2-15^2}{2\cdot18\cdot25}\approx0,8$   ,   привлекаем калькулятор: $\alpha\approx36,4^o$    ;
  • $\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем      $\cos\beta=\frac{15^2+25^2-18^2}{2\cdot15\cdot25}\approx0,7$   ,   .... калькулятор: $\beta\approx45,3^o$       .
  • Найдём   $γ$    по теореме о 180 = сумма углов:    $\gamma=180-\left(\alpha+\beta\right)$    и    $\gamma\approx180-\left(36,4+45,3\right)\approx98,3$   .
  • Ответ:                 $\alpha\approx36,4^o$     ,      $\beta\approx45,3^o$       ,      $\gamma\approx98,3$

          

Задача 7:         В     $\bigtriangleup ABC$        $AB=c=3$ м,      $AC = b = 6$ м.   ,    $\alpha=60$   .       Найти:   сторону    $a = BC$   ,     углы     $β$,    $γ$    .

  • Решение:           Треугольник   задан    двумя   сторонами   и   углом между ними,    следовательно,   он задан полностью.               
  • По   теореме   косинусов      $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\alpha$          найдём сторону     $a$:      
  • $a^2=6^2+3^2-2\cdot6\cdot3\cdot\cos60=36+9-36\cdot\frac{1}{2}=27$          $\Rightarrow$     $a=3\sqrt{3}$ .
  • По теореме   косинусов   найдем и    угол    $β$ :     $\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$      ,     $\cos\beta=\frac{27+9-36}{18\sqrt{3}}=0$     $\Rightarrow$      $β=90$ .
  • Значит $\bigtriangleup ABC$   -    прямоугольный   ,      тогда угол    $γ=90-α$     .          Ответ:    $a=3\sqrt{3}$   ,    $β = 90$     ,    $γ=30$   .

Задача 8:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.

  • дано: $AB=11$   ,     $BC=12$    ,   $AC=13$               Найти биссектрису      $AK=?$ .
  • Решение:     Найдем косинус угла из теоремы косинусов :     $AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos \angle ACB$                     
  • Выразим косинус       $\cos \angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}$ ,    $\cos \angle ACB=\frac{13^2+12^2-11^2}{2\cdot 13\cdot 12}=\frac{19}{39}$
  • Найдем отрезки   $BK$ ,   $KC$    на которые биссектриса делит сторону ... по теореме биссектрис         $\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}$
  • Система уравнений: $\frac{BK}{KC}=\frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем    $BK=5,5$ ,    $BK=6,5$
  • Теперь, для нахождения биссектрисы   $AK$   еще раз     используем теорему косинусов для треугольника     $\bigtriangleup AKC$
  • $AK^2=AC^2+KC^2-2\cdot AC\cdot KC\cdot\cos \angle ACB$    подставим значения    $AK^2=13^2+6,5^2-2\cdot 13\cdot 6,5\cdot \frac{11}{13}=\frac{429}{4}$.
  • Ответ:         $AK=\frac{\sqrt429}{2}$.

Задача 9:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти медиану, проведенную к большей стороне.

  • Решение:         Воспользуемся формулой для длины медианы:        $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$                     
  • Подставим   значения   $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot11^2+2\cdot12^2-13^2}=\frac{1}{2}\sqrt{242+288-169}=\frac{1}{2}\sqrt{361}=\frac{19}{2}=9,5$     Ответ:       $m_c=9,5$

Задача 10:         В треугольнике     $ABC$     $AB=11$   ,     $AC=23$    ,    медиана      $AK=10$ .           Найти     $BC$ .

  • Решение:          Воспользуемся   формулой   для   длины    медианы      и   подставим    в   неё   данные   из условия:                  
  • $AK=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot11^2+2\cdot23^2-BC}$        $\Rightarrow$      $100=\frac{1}{4}\left(242+1058-BC^2\right)$         $\Rightarrow$   $BC^2=900$          Ответ:           $BC=30$        .    

Упражнения: