Вероятность промаха

Задача 1:          Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6.   

Какова вероятность того, что при пяти выстрелах стрелок попадет ровно 3 раза.

Решение:      Вероятность "попадания"       $p=0,6$       Вероятность "промаха"      $q=1-p=0,4$ .

  • "попадание" и   "промах"   суть   противоположные события.     Сумма вероятностей $p+q=1$      -      полнота вероятности!
  • $(p+q)^5=1$       Бином Ньютона          для степени 5:       $(p+q)^5=p^5+5\cdot p^4q+10\cdot p^3q^2+10\cdot p^2q^3+5\cdot pq^4+q^5$
  • каждое отдельное слагаемое Бинома равно вероятности попадания в цель в точности столько раз, в какой степени $p$ входит в это слагаемое!
  • зряче:            $1$            =                 [$p^5$]            +           [$5\cdot p^4q$]          +       [$10\cdot p^3q^2$]        +       [$10\cdot p^2q^3$]      +      [$5\cdot pq^4$]         +        [$q^5$]
  • "что-то случится"      =      "все 5 попал"      +    "попал 4 раза"    + "попал 3 раза"      +   "попал 2 раза"    + "только 1 раз"   + "все промахи"
  • Вероятность ( из пяти исходов 3 будут удачными )    =      $10\cdot p^3q^2$      =      $C_5^3\cdot p^3q^2$ .       Число         Сочетаний:    $C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}=10$.

Ответ:          $10\cdot p^3(1-p)^2=10\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=10\cdot 0,216\cdot 0,16=0,3456$

  • Решим эту же задачу прямым нахождением вероятности         Схематически:    0 = промах,   1 - попадание.
  • Вариант одного из возможных благоприятных событий   (0, 1, 1, 0, 1) - три раза попал именно в 2-ой, 3-ей и 5-ой попытке.
  • Какова вероятность ровно такого события: попытки идут друг - за другом, последовательно и независимо друг от друга. :}
  • По Правилу Умножения Вероятностей Независимых           $p_{01101}=q\cdot p\cdot p\cdot q\cdot p=p^3q^2=p^3\left(1-p\right)^2$
  • Но {01101} лишь один вариант расположения трех единиц в пяти местах. Другие варианты ... {01110}, {10110} ...
  • Все эти варианты-события содержат ровно три единицы, а потому их вероятности одинаковые $p^3\left(1-p\right)^2$. Но сколько их?
  • Вариантов выбора трех мест из пяти -   Число Сочетаний:    $C_5^3=10$:   В пятерке надо выбрать тройку без учета порядка.
  • Разные варианты   ..{01101}... {01110} ... {10110} .. не совместны друг с другом: либо одно, либо другое ... или - или
  • По Правилу Сложения Несовместных       наша вероятность 3 из 5    =     [$10$ вариантов]      *      [$p^3\left(1-p\right)^2$],

О вероятностях в Бинарных исходах: однократное событие с исходами "да" или "нет"

Теорема:     Если "да" выпадает с вероятностью    $p$,     то   при   $n+k$     попытках вероятность наступления

в любом порядке ровно    $n$     исходов    "да"    и    $k$     исходов   "нет"   равна         $C_{n+k}^k\cdot p^n\cdot (1-p)^k$

Задача 2:          Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность выпадения "орла" менее 4 раз.

  • Бинарные исходы "орел", "решка" с одинаковыми вероятностями успеха - не успеха:        $p=\frac{1}{2}$         $q=0,5$
  • 9 попыток,     Бином Ньютона     9-ой степени :       $(p+q)^9=p^9+C_9^8\cdot p^8q+C_9^7\cdot p^7q^2+....+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
  • Менее 4 раз: значит либо 3, либо 2, либо 1, либо 0. Их вероятности представлены последними 4 слагаемыми в Биноме
  • Сложение Несовместных Вероятность ( менее 4 раз )      $a$      =       $C_9^3\cdot p^3q^6+C_9^2\cdot p^2q^7+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
  • Расчеты:       $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84$         $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{1\cdot 2}=36$              $C_9^1=9$       $p^3q^6=p^2q^7=p^1q^8=q^9=0,5^9$      
  • Ответ:      вероятность менее 4 "орла"       $a=(84+36+9+1)\cdot 0,5^9=\frac{120}{512}=\frac{15}{64}$

О способах расчета комбинаторики, числах Сочетаний     см.    XII. §4.   

О законах вероятности, правилах Сложений и Умножений     см.   XII . §3.

О Биноме Ньютона, треугольнике Паскаля      см.   XII. §7.

Упражнения: