Задача 1: Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6.
Какова вероятность того, что при пяти выстрелах стрелок попадет ровно 3 раза.
Решение: Вероятность "попадания" $p=0,6$ Вероятность "промаха" $q=1-p=0,4$ .- "попадание" и "промах" суть противоположные события. Сумма вероятностей $p+q=1$ - полнота вероятности!
- $(p+q)^5=1$ Бином Ньютона для степени 5: $(p+q)^5=p^5+5\cdot p^4q+10\cdot p^3q^2+10\cdot p^2q^3+5\cdot pq^4+q^5$
- каждое отдельное слагаемое Бинома равно вероятности попадания в цель в точности столько раз, в какой степени $p$ входит в это слагаемое!
- зряче: $1$ = [$p^5$] + [$5\cdot p^4q$] + [$10\cdot p^3q^2$] + [$10\cdot p^2q^3$] + [$5\cdot pq^4$] + [$q^5$]
- "что-то случится" = "все 5 попал" + "попал 4 раза" + "попал 3 раза" + "попал 2 раза" + "только 1 раз" + "все промахи"
- Вероятность ( из пяти исходов 3 будут удачными ) = $10\cdot p^3q^2$ = $C_5^3\cdot p^3q^2$ . Число Сочетаний: $C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}=10$.
Ответ: $10\cdot p^3(1-p)^2=10\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=10\cdot 0,216\cdot 0,16=0,3456$
- Решим эту же задачу прямым нахождением вероятности Схематически: 0 = промах, 1 - попадание.
- Вариант одного из возможных благоприятных событий (0, 1, 1, 0, 1) - три раза попал именно в 2-ой, 3-ей и 5-ой попытке.
- Какова вероятность ровно такого события: попытки идут друг - за другом, последовательно и независимо друг от друга. :}
- По Правилу Умножения Вероятностей Независимых $p_{01101}=q\cdot p\cdot p\cdot q\cdot p=p^3q^2=p^3\left(1-p\right)^2$
- Но {01101} лишь один вариант расположения трех единиц в пяти местах. Другие варианты ... {01110}, {10110} ...
- Все эти варианты-события содержат ровно три единицы, а потому их вероятности одинаковые $p^3\left(1-p\right)^2$. Но сколько их?
- Вариантов выбора трех мест из пяти - Число Сочетаний: $C_5^3=10$: В пятерке надо выбрать тройку без учета порядка.
- Разные варианты ..{01101}... {01110} ... {10110} .. не совместны друг с другом: либо одно, либо другое ... или - или
- По Правилу Сложения Несовместных наша вероятность 3 из 5 = [$10$ вариантов] * [$p^3\left(1-p\right)^2$],
О вероятностях в Бинарных исходах: однократное событие с исходами "да" или "нет"
Теорема: Если "да" выпадает с вероятностью $p$, то при $n+k$ попытках вероятность наступления
в любом порядке ровно $n$ исходов "да" и $k$ исходов "нет" равна $C_{n+k}^k\cdot p^n\cdot (1-p)^k$
Задача 2: Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность выпадения "орла" менее 4 раз.
- Бинарные исходы "орел", "решка" с одинаковыми вероятностями успеха - не успеха: $p=\frac{1}{2}$ $q=0,5$
- 9 попыток, Бином Ньютона 9-ой степени : $(p+q)^9=p^9+C_9^8\cdot p^8q+C_9^7\cdot p^7q^2+....+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
- Менее 4 раз: значит либо 3, либо 2, либо 1, либо 0. Их вероятности представлены последними 4 слагаемыми в Биноме
- Сложение Несовместных Вероятность ( менее 4 раз ) $a$ = $C_9^3\cdot p^3q^6+C_9^2\cdot p^2q^7+C_9^1\cdot pq^8+q^9$
- Расчеты: $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84$ $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{1\cdot 2}=36$ $C_9^1=9$ $p^3q^6=p^2q^7=p^1q^8=q^9=0,5^9$
- Ответ: вероятность менее 4 "орла" $a=(84+36+9+1)\cdot 0,5^9=\frac{120}{512}=\frac{15}{64}$
О способах расчета комбинаторики, числах Сочетаний см. XII. §4.
О законах вероятности, правилах Сложений и Умножений см. XII . §3.
О Биноме Ньютона, треугольнике Паскаля см. XII. §7.
Упражнения: