Алгебраические уравнения четвертой степени

Рассмотрим алгебраическое уравнение четвертой степени

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0$

Так как уравнение четвертой степени, то старший коэффициент $a \neq 0.$ Ниже будет предложен метод, позволяющий решать алгебраическое уравнение четвертой степени, при произвольных коэффициентах $a,b,c,f,\left(a\ne 0\right)$ и при единственном условии накладываемом на коэффициент $d,$

$d=\frac{4abc-b^3}{8a^2}$

Оказывается, любое алгебраическое уравнение четвертой степени, при выполнении данного условия для $d$ , может быть решено путем выделения полного квадрата. Приведем соответствующий пример.

Решить уравнение.

$x^4+2x^3-3x^2-4x+3=0$

В данном примере $a=1,b=2,c=-3,d=-4,f=3.$ Тогда,   $\frac{4abc-b^3}{8a^2}=\frac{4\cdot 1\cdot 2\cdot \left(-3\right)-8}{8}=-4=d.$ Следовательно, условие для коэффициента $d$ выполняется. Выделим из первых трех слагаемых, в левой части уравнения, полный квадрат

$\left(x^4+2x^3+x^2\right)-x^2-2x^2-3x+2=0$,

или

$\left(x^2+x\right)^2-3\left(x^2+x\right)+2=0.$

Введем обозначение $x^2+x=y.$Тогда, последнее уравнение примет вид $y^2-3y+2=0.$ Корнями этого уравнения являются $y=1;y=2.$ Учитывая это, получим уравнения

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2+x=1,\\ x^2+x=2.\\ \end{array}\\ $$

или

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2+x-1=0,\\ x^2+x-2=0.\\ \end{array}\\ $$

Решая эти квадратные уравнения, найдем:

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\\ x=-2,\\ x=1.\\ \end{array}\\ $$

Ответ:$-2;\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2};1.$

Задачи для самостоятельной работы.

  1. $4x^4-4x^3-7x^2+4x+3=0.$

  2. $9x^4-6x^3-14x^2+5x+6=0.$

  3. $x^4+6x^3+7x^2-6x-3=0.$

  4. $x^4+6x^3+11x^2+6x-3=0.$

  5. $x^4-2x^3+5x^2-4x+3=0.$

Упражнения: