Подобие треугольников

Три признака подобия двух треугольников

Примеры подобий:

Предмет и его фотография. Если предмет в 5 раз больше фотографии, то каждая сторона предмета будет ровно в 5 раз длиннее такой же стороны на фотографии. При этом углы останутся неизменныими - это самое важное при подобиях;
Zoom фотоаппарата или бинокль передает смысл коэффициента подобия;
Копирование: Увеличить или уменьшить, сделать копии чего либо - получатся подобные фигуры.

_____________________________________________________________________________________

Теорема О трех признаках подобия двух треугольников. Два треугольника подобны, если:

Признак I. Равенство двух углов.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
$\angle A=\angle A_1$ , $\angle B=\angle B_1$ $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак II. Пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними".

Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны:
$\angle A=\angle A_1$ , $\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$ $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак III. Пропорциональность трёх сторон.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны:
$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$ $\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$

_____________________________________________________________________________________

Коэффициентом подобия треугольников называется отношение соответственных сторон $k=\frac{AC}{A_1C_1}$

Отношение всех соответствующих отрезков $k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=\frac{h_c}{h_{c1}}=\frac{m_b}{m_{b1}}=\frac{b_a}{b_{a1}}$ .
Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон первого и второго треугольников.
Квадрат коэффициента подобия говорит об отношении площадей $k^2=\frac{S}{S_1}$.

Соответственные (сходственные) стороны - те, которые являются копиями друг друга в подобных фигурах. У подобных фигур одинаковый состав углов. Увидеть подобие означает найти - для каждого угла из первой фигуры найдется равный ему угол из второй фигуры. Напротив таких равных углов находятся сходственные стороны.

Как меняются длины (отрезки, дуги) при подобии? Увеличиваются в $k$ - раз. Одномерные - $D^1$ - размерность ;
Как соотносятся площади при подобии? Увеличиваются в $k^2$ - раз. Двумерные - $D^2$ ;
Каково отношение объемов при подобии? Увеличиваются в $k^3$ - раз. Трехмерные - $D^3$ - размерность ;
Что не меняется при подобии? Угол. $k^0$ - раз. 0 - мерные - $D^0$ . Угол = дуга/радиус.

_____________________________________________________________________________________

Теорема О трех признаках подобия двух прямоугольных треугольников.

Признак I: если хотя бы один острый угол первого треугольника равен какому - либо острому углу другого;
Признак II: если катеты одного пропорциональны катетам другого;
признак III: если гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого.

_____________________________________________________________________________________

Пример 1: Дано: $\bigtriangleup ABC$ ; $\bigtriangleup A_1B_1C_1$ $\angle A=\angle A_1$ ; $B=\angle B_1$ ; $A_1B_1=4$ $B_1C_1=3$ $C_1A_1=2$ $AB=12$ Найти: $BC$ и $CA$

Решение: Два угла в одном равны двум углам в другом.... По 1-му признаку подобия: $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$
Определим коэффициент подобия данных: $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$ Следовательно,
$\frac{CA}{2}=3$ $CA=2\cdot 3=6$ $\frac{BC}{3}=3$ $BC=3\cdot 3=9$ . Ответ: $CA=6$ $BC=9$

Очевидно Подобные: Треугольник со сторонами 6, 9, 12 подобен треугольнику со сторонами 2, 3, 4 - каждая сторона первого треугольника ровно в три раза больше "своей сходственной" стороне другого треугольника. Коэффициент подобия = 3.

Задача 2: Дано: $\bigtriangleup ABC$ и $\bigtriangleup NAM$ прямоугольные $AM=3$ $AC=2$ $\angle A=\angle B$ Найти: $x=BC$

Решение: в каждом треугольнике есть прямой угол и $\angle A=\angle B$ (1-ый признак подобия треугольников): $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup NAM$.
Так как треугольники подобные, то отношения сходственных сторон у них равны. Какие схожие?
Для определения сходственных сторон необходимо помнить, что они лежат напротив равных углов: $AC$ и $NM$, $AB$ и $NA$, $BC$ и $AM$.
$\frac{AC}{NM}=\frac{AB}{NA}=\frac{BC}{AM}$ отдельно выпишем равенство: $\frac{AC}{NM}=\frac{BC}{AM}$
Подставим известные значения: $\frac{2}{1}=\frac{x}{3}$ $1\cdot x=2\cdot 3$ $x=6$ Ответ: $x=6$

Задача 3: Стороны треугольника 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны подобного треугольника с периметром 26 см.

Решение: Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Периметр $\bigtriangleup A_1B_1C_1$ нам задан, периметр $\bigtriangleup ABC$ мы сможем найти, т.к. заданы длины его сторон.
Таким образом мы найдем коэффициент подобия и определим искомые длины сторон:
$P_{\bigtriangleup ABC}=15см+20см+30см=65см$ . Коэффициент: $k=\frac{P_{\bigtriangleup A_1B_1C_1}}{P_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{26}{65}$
$\Rightarrow$ $a_1=ka=\frac{26\cdot 15}{65}=6$см , $b1=kb=\frac{26\cdot 20}{65}=8$см , $c1=kc=\frac{26\cdot 30}{65}=12см$ .

Задача 4: На одной стороне угла $\angle A$ отложены отрезки $AB=6$ и $AC=20$. На другой стороне $AD=8$ $AE=15$ . Подобны ли треугольники $ACD$ и $AEB$ ?

Решение: У обоих треугольников $\bigtriangleup ACD$ и $\bigtriangleup AEB$ есть равный угол $\angle A$, общий угол для обоих.
Две стороны ( $AD$ и $AC$ ) треугольника $\bigtriangleup ACD$ пропорциональны двум сторонам ($AB$ и $AE$) треугольника $\bigtriangleup AEB$ !
почему? Проверим "на числах", выполняется ли пропорция, равны ли отношения сторон: $\frac{AD}{AC}$ ?=? $\frac{AB}{AE}$
Отношение $\frac{AD}{AC}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ . Отношение $\frac{AB}{AE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Видно, что эти отношения равны.
Итак: 2 стороны одного пропорциональны двум другого! Кроме того, $\angle A$ является общим для двух треугольников.
По второму признаку подобия $\Rightarrow$ $\bigtriangleup ACD\sim \bigtriangleup AEB$

Задача 5: В равнобедренном треугольнике $\bigtriangleup ABC$ с углом $\angle A=36^o$ из вершины $B$ основания проведена биссектриса $BL$. Доказать подобие треугольников $\bigtriangleup ABC$ и $\bigtriangleup BLC$.

Дано: $\bigtriangleup ABC$ равнобедренный; $AB=AC$ $\angle A=36^o$ $\angle LBA=\angle LBC$ ( $BL$ - биссектриса).
Доказать: $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BLC$.
Доказательство: Так как в равнобедренном треугольнике задан угол при вершине, то можно найти углы при основании:
$\angle B+\angle C=2\cdot \angle B=180^0-\angle A=180^0-36^0=144^0$
$BL$ - биссектриса $\Rightarrow $ $\angle LBA=\angle LBC=\frac{\angle B}{2}=\frac{72^o}{2}=36^o$.
B $\bigtriangleup BLC$ : $\angle BLC=180^o-\angle C-\angle LBC=180^o-72^o-36^o-72^o$. Таким образом, ....
$\bigtriangleup ABC$ и $\bigtriangleup BLC$ - это равнобедренные с равными углами при вершине $\angle A=\angle LBC=36^o$.
Равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны, (состав углов одинаковый?): $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BLC$. Что и требовалось доказать.

Следствия подобия треугольников

_____________________________________________________________________________________

Теорема о медианах.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в пропорции 2 : 1.

_____________________________________________________________________________________

Теорема о высоте в прямоугольном и проекциях катетов на гипотенузу.

Высота делит треугольник на два подобных между собой и исходному треугольнику.
Квадрат высоты равен произведению отрезков: $BD^2=AD\cdot CD$. Или, иначе ...
Высота прямоугольного треугольника равна средне-геометрическому частей гипотенузы, на которые делит гипотенузу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема бисектрис.

Биссектриса угла делит сторону треугольника на два отрезка, пропорциональных другим двум сторонам треугольника,
.... прилежащим к этому углу $\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}$ - направление от верхних к нижним.

_____________________________________________________________________________________

Факты:

Все прямоугольные треугольники с углом 57 градусов подобны друг другу;
Диагонали трапеции при пересечении образуют два подобных друг другу треугольника, прилежащих к основаниям;
При продолжении боковых сторон трапеции до пересечения образуются два подобных треугольника;
Если коэффициент подобия к = 3, то каждая сторона первого треугольника в 3 раза больше соответствующей стороне второго треугольника, каждая высота в первом треугольнике в 3 раза больше соответствующей (подобной) высоте во втором, аналогично медианы, биссектрисы в 3 раза больше своих визави. Площадь первого треугольника в 9 раз больше площади другого треугольника. Но углы у обоих треугольников соответственно равны;
Угол - 0 мерная величина. Длина отрезка - одномерная величина. Площадь - двухмерная величина. Объем - трехмерная величина.

Замечание, о главном в подобиях:

О самом важном при подобии треугольников: какие составы углов? равные? какие стороны соответственные, схожие?
Соответственные стороны (иногда говорят сходственные ) - это стороны, которые в пропорциях делятся друг на друга.
Пропорция: сторона a одного треугольника, деленная на соотвественную (сходственную) a сторону второго треугольника.

Три признака равенства треугольников

Если треугольники подобны и коэффициент подобия = 1, то эти треугольники равны. У равных треугольников все части равны.

_____________________________________________________________________________________

Теорема о трех признаках равенства двух треугольников два треугольника равны (совпадают), если:

Признак I: если две стороны и угол между ними первого треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго;

Признак II: если сторона и два прилежащих к ней угла первого равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам второго.

Признак III: если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам второго треугольника.

_____________________________________________________________________________________

Интерактивные Упражнения:

Решать в Mathematicos

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 21: Стороны треугольника, образованного средними линиями треугольника ABC, равны 12, 13, 14. Найдите периметр треугольника АВС.

ХХХ Задача 22: Отрезки AB и CD пересекаются в точке E так, что ∠CAE = ∠DBE, AE = 16, BE = 4, ED = 15. Найдите CE.

ХХХ Задача 23: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна 24 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 36 см. Найдите гипотенузу.

ХХХ Задача 24: Основания трапеции ABCD раны 24 см и 36 см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите AO, если OC =8 см.

Задача 25: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AB = 18, MB = 12

Задача 26: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AB = 14, AM = 8

Задача 27: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AM = 4, MB = 5.

Задача 28: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла равна 15 см, один из катетов равен 17 см. Найдите гипотенузу.

ХХХ Задача 29: В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна 7,2 см. Найдите гипотенузу, если больший из отрезков, на которые высота делит её, равен 9,6 см

Задача 30: Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке M. Известно, что BC = 4, AD = 10. Найдите отношение площадей треугольников BMC и AMD.

XXX Задача 31: В треугольнике ABC параллельно стороне AC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Найдите BC, если BD = 10, AB = 25, BE = 8.

ХХХ Задача 32: В треугольниках АВС и NКP ∠В = ∠К, BС = 20 см, AB = 10 см, NK = 8 см, KP = 16 см, NP = 12 см. Найдите AС.

XXX Задача 33: На одной стороне угла O отложены отрезки OA = 9, OB = 18. На другой стороне угла отложены отрезки OD = 6, OC = 12. Найдите DC, если AB = 7.

ХХХ Задача 34: В параллелограмме АВСD проведена прямая из вершины В. Она пересекает прямую АD в точке K, сторону DС в точке E так, что CD = 24 см, DK = 8 см, СE = 14 см. Найдите ВС.

XXX Задача 35: Стороны угла O пересечены параллельными прямыми AВ и СD так, что точки A и С лежат на одной стороне угла, а точки В и D лежат на другой стороне угла. Найдите ВD, если АВ = 7 см, OB = 12 см, CD = 21 см.

ХХХ Задача 36: В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD диагонали пересекаются в точке О так, что CО = 8 см, ВС = 15 см, АD = 25 см. Найти АО

Подобие треугольников

Геометрия, 8 класс

Учитель

Подобие треугольников