- Угол состоит из вершины, двух сторон (два луча) и внутренней области.
- Угол - внутренняя область, образованная двумя пересекающимися прямыми, или отрезками.
- .... Они называются сторонами угла, а точка пересечения этих сторон называется вершиной угла.
- Равенство углов: два угла равные, если они полностью совпадают при наложении, как равные фигуры.
- Что значит равные фигуры?
- a. Если при наложении (как твердого тела) одной фигуры на другую фигуру, эти фигуры полностью (без зазоров) совместятся,
- b. Если с помощью движений на плоскости (параллельное перемещение, повороты, отражения) одну фигуру можно совместить с другой.
- Складывание углов - Если один угол приложить к другому так, чтобы вершины совпали и одна сторона была общей ....
- Сложение и вычитание углов : целый угол равен сумме составляющих углов: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$
- Аддитивность градусной меры углов - градусная мера полного угла равна сумме углов, составляющих весь угол.
- Если лучи дополняют друг друга до прямой, то оба образующихся угла называются развернутыми - $180^0$ градусов.
- Развернутый угол– это половина полного $360^0$ угла. Прямой $90^0$ угол – половина развернутого.
Смежные и вертикальные углы
Пара углов с общей вершиной может быть смежными или вертикальными, если у них общая вершина, а стороны ... ??
Смежные углы имеют общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжениями друг друга в разные стороны от вершины.
Вертикальные углы имеют общую вершину, а каждая сторона одного угла является продолжением стороны второго угла.
- Смежные углы прикладываются друг к другу одной общей стороной. А другие стороны - противоположные лучи.
- Если стороны одного угла направить ровно в противоположное направление от вершины, то получится вертикальный с ним угол.
Теорема Сумма смежных углов равна развернутому углу – 180о.
Теорема Вертикальные углы равны. При наложении такие углы полностью совпадут, совместятся.
На рисунке изображены две пары вертикальных углов: ∠АОD и ∠СОB, а также ∠AOC и ∠ВОD.
Задача 1: Найдите смежные углы, угол α и угол β, если α в 3,5 раза больше β.
- Решение: сумма смежных α и β углов равна 180°....значит, α + β = 180°.
- α в 3,5 раза больше β ... значит, α = 3,5β.
- Комбинируем два равенства, подставим одно в другое: α + β = 3,5β + β = 4,5β = 180°
- Решим уравнение 4,5β = 180°, найдем $\beta=\frac{180}{4,5}=40$
- тогда β = 40° . а 3,5 раза больший угол будет равен α = 140°
- Таким образом, если мы знаем соотношение между двумя смежными углами, то мы можем найти их меры.
Задача 2: Три прямые пересекаются в точке О. Найдите угол γ, если α = 55°, а β = 40°.
- Решение: Угол, вертикальный с углом γ, равен с ним. "Три смежных" угла?
- По свойству вертикальных углов имеем, что сумма мер трёх углов равна 180°, $\alpha+\beta+\gamma=180$
- Подставим значения известных углов $55+40+\gamma=180$. Найдем неизвестный угол.
- Искомый угол γ имеет меру 85°.
Задача 3: См. на рис. выше $OL$ , $OK$ - биссектриссы углов. Доказать, что всегда: 1) Угол между биссектрисами смежных углов равен $90^o$. 2) Угол между биссектрисами вертикальных углов равен $180^o$.
- Решение: Поскольку $OL$ – биссектриса угла $∠ВОА$, то угол $∠LOB$ = $\frac{\alpha}{2}$ ,
- аналогично $∠ВОК$ = $\frac{\beta}{2}$ .
- $∠LOK$ = $∠LOB$ + $∠BOK$ = $\frac{\alpha}{2}$ + $\frac{\beta}{2}$ = $\frac{\alpha+\beta}{2}$.
- Сумма углов $α + β$ равна $180^о$, поскольку данные углы – смежные.
Полезные вопросы, примеры. Решите найзусть:
- Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
- Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
- В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?
- Найдите углы смежные ∠α и ∠β, если ∠β меньше ∠α в 3 раза.
- Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 52°
- Найдите смежные углы ∠b и ∠d, если ∠b = 1/4∠d.
Интерактивные Упражнения: