График функции y=k/x

Учебник
Алгебра, 8 класс
IMG_0454.JPG

Учитель

Темур Кварацхелия
График функции y=k/x

Функция      $y=\frac{k}{x}$ .     Гипербола.   Свойства.

Пример 1:          Построить   график   для   функции    $y=\frac{1}{x}$,      $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

  • Вычислим   значения   функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
  • $x=1$           $f\left(1\right)=1$                $x=\frac{1}{2}$           $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$               $x=-1$           $f\left(-1\right)=-1$                $x=-\frac{1}{2}$           $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$
  • $x=2$           $f\left(2\right)=\frac{1}{2}$                $x=\frac{1}{4}$           $f\left(\frac{1}{4}\right)=4$              $x=-2$           $f\left(-2\right)=-\frac{1}{2}$                $x=-\frac{1}{4}$           $f\left(-\frac{1}{4}\right)=-4$
  • $x=4$           $f\left(4\right)=\frac{1}{4}$                $x=\frac{1}{8}$           $f\left(\frac{1}{8}\right)=8$               $x=-4$           $f\left(-4\right)=-\frac{1}{4}$                $x=-\frac{1}{8}$           $f\left(-\frac{1}{8}\right)=-8$        .
  • В   системе   координат   укажем   точки   $(1;1)$,   $(2;1/2)$,   $(4;1/4)$,   $(1/2;2)$,   $(1/4;4)$,   $(1/8;8)$,    $(-1;-1)$,   $(-2;-1/2)$,
  • Еще точки:   $(-4;-1/4)$,   $(-1/2;-2)$,     $(-1/4;-4)$,   $(-1/8;-8)$ . По всем   точкам   построим   кривые   -   график   функции   $y=\frac{1}{x}$
  • Функция $y=\frac{1}{x}$ не вычисляется при   $x=0$, О.Д.З. $x\ne0$ .       График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$. Ветви "прижаты" к ней.
  • Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.   Функция $y=\frac{1}{x}$ ни при каких   $x$ не принимает значение    $y=0$

                             

Пример 2:          Построить   график   для   функции    $y=-\frac{6}{x}$,      $f\left(x\right)=-\frac{6}{x}$

  • Вычислим   значения   функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
  • $x=1$           $f\left(1\right)=-6$                $x=\frac{1}{2}$           $f\left(\frac{1}{2}\right)=-12$               $x=-1$           $f\left(-1\right)=6$                $x=-\frac{1}{2}$           $f\left(-\frac{1}{2}\right)=12$
  • $x=2$           $f\left(2\right)=-3$                $x=\frac{3}{4}$           $f\left(\frac{3}{4}\right)=8$              $x=-2$           $f\left(-2\right)=12$                $x=-\frac{3}{4}$           $f\left(-\frac{3}{4}\right)=8$
  • $x=4$           $f\left(4\right)=-1,5$                $x=6$           $f\left(6\right)=-1$               $x=-4$           $f\left(-4\right)=1,5$                $x=-12$           $f\left(-12\right)=-0,5$        .
  • В   системе   координат   укажем   точки   $(1;-6)$,   $(2;-3)$,   $(4;-1,5)$,   $(1/2;-12)$,   $(3/4;-8)$,   $(-2;3)$,    $(-1;6)$,   $(-3;2)$,
  • Еще точки:   $(-4;1,5)$,   $(-1/2;12)$,     $(12;-0,5)$,   $(-12;0,5)$ . По всем   точкам   построим   кривые   -   график   функции   $y=\frac{1}{x}$
  • Функция $y=-\frac{6}{x}$ не вычисляется при   $x=0$, О.Д.З. $x\ne0$ .       График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$. Ветви "прижаты" к ней.
  • Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.   Функция $y=-\frac{6}{x}$ ни при каких   $x$ не принимает значение    $y=0$

Графиком функции       $y=\frac{k}{x}$       $k\ne0$      является   гипербола ,   ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

  • если коэффициент   $k > 0$ ,    в   I   и    III   координатных четвертях.   Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • если   $k < 0$ ,    то   во   II    и   IV   координатных четвертях. Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • Асимптоты:         Вертикальная   асимптота,   линия   $x=0$,               Горизонтальная   асимптота,   линия    $y=0$               

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при    $k > 0$        ( ветви   гиперболы   расположены   в   первом   и   третьем   координатных   углах) .

  • Свойство 1:     Область   Определения   Функции - вся   числовая   прямая , кроме    $x=0$.
  • Свойство 2:     $y > 0$   при   $x > 0$;      $y < 0$   при    $x < 0$.
  • Свойство 3:     Функция   убывает   на    промежутках      $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$    
  • Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху.
  • Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений   $у$   функций   нет.   
  • Свойство 6:     Функция   непрерывна   на    $( - ∞ ; 0 )$    и    $( 0 ; + ∞)$.
  • Свойство 7:     Область   значений   функции   -    $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$.    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при      $k < 0$        (ветви гиперболы расположены   во   втором   и   четвертом   координатных   углах).

  • Свойство 1:     Область   Определения   Функции   -   вся   числовая   прямая ,    кроме    $x=0$.
  • Свойство 2:     $y > 0$    при    $x < 0$ ;        $y < 0$   при    $x > 0$.
  • Свойство 3:     Функция   возврастает   на   промежутках     $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$     
  • Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху.
  • Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений    $у$    функций   нет.
  • Свойство 6:     Функция   непрерывна   на   $( - ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$
  • Свойство 7:     Область   значений   функции   -   объединение     $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$ .    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Графический способ решения уравнений

Пример 3:                Решить уравнение         $\frac{2}{x}=x^2+1$       графическим   способом.

  • Рассмотрим   две   функции :      $y=\frac{2}{x}$      и      $y=x^2+1$      построим   гиперболу      $y=\frac{2}{x}$      и   параболу      $y=x^2+1$      по
  • чертежу   видно,   что   графики   пересекаются   в   точке   с   координатами    $\left(1;2\right)$.   если   подставить   $x=1$    в   уравнение,
  • то   равенство   выполняется:      $\frac{2}{1}=1^2+1$     обе   функции   принимают   одно   и   то   же   значение      $2=2$.    
  • ответ:      $x=1$.      при   таком    $x$    графики   пересекаются.
  • "почему?":   при   каких    $x$ - числах   выравнываются   обе   части   уравнения?   при   тех    $x$ - числах,   при   которых   левая
  • функция   и   правая   функция   приобретают   одинаковые   значения    ...    это   то   же   самое,   что   графики   этих   функций
  • пересекаются   в   точках с   такими   $x$   -   координатами.

                     

Пример 4:                Решить уравнение                            $\frac{5}{x}=x-4$.

  • рассмотрим две функции:     $y=\frac{5}{x}$     и      $y=x-4$,     построим   их   графики:   гиперболу    $y=\frac{5}{x}$    и   прямую   $y=x-4$.
  • по   чертежу   видно,   что   гипербола   и   прямая   пересекаются   в   точках   $(-1;-5)$    и    $(5;1)$.    проверим,   подставим
  • $x=-1$     и       $x=5$    в   уравнение :      $\frac{5}{-1}=-1-4$       $\Leftrightarrow$        $-5=-5$       и              $\frac{5}{5}=5-4$     $\Leftrightarrow$     $1=1$ .      равенство
  • выполняется,   значит   данное   уравнение   имеет   два   корня   -   абциссы   точек   пересечения   графиков.
  • ответ:       $x_1=-1$;      $x_2=5$.

Пример 5:                  Найти наименьшее и наибольшее значения функции    $y=\frac{1}{x}$     на отрезках   а)    $\left[\frac{1}{3};5\right]$      и    б)   $\left[-7;-1\right]$.

  • Построим график функции   $y=\frac{1}{x}$ .
  • Выделим   часть   графика,   соответствующую   значениям   переменной   $x$    на отрезке    $\left[\frac{1}{3};5\right]$.
  • Для   выделенной   части графика   находим:   наименьшее   значение   $y=\frac{1}{5}$     при     $x=5$ ,     наибольшее      $y=3$    при     $x=\frac{1}{3}$.
  • Оформление:                 $\left[\frac{1}{3};5\right]$                         $f\left(5\right)=\frac{1}{5}$                            $f\left(\frac{1}{3}\right)=3$
  • Выделим   часть   графика,   соответствующую   значениям   переменной    $x$   на   отрезке    $\left[-7;-1\right]$.
  • Для   выделенной части   графика   находим:   наименьшее   значение   $y=-\frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее   $y=-1$    при    $x=-1$.     
  • Оформление:                 $\left[-7;-1\right]$                         $f\left(-7\right)=-\frac{1}{7}$                            $f\left(-1\right)=-1$

Пример 6:                Доказать,   что   функция       $y=f\left(x\right)$ ,     где      $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$       

удовлетворяет   соотношению                   $f\left(x-5\right)-f\left(x+1\right)=1,5\cdot f\left(x-5\right)\cdot f\left(x+1\right)$.

  • Подставим   в   аргументы   функций   значения     $x-5$    и     $x+1$,    получим:    $f\left(x-5\right)=\frac{4}{x-5}$    и     $f\left(x+1\right)=\frac{4}{x+1}$ .
  • распишем   левую   часть   тождества      $f\left(x-5\right)-f\left(x+1\right)=\frac{4}{x-5}-\frac{4}{x+1}=\frac{4\left(x+1\right)-4\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{24}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}$.    аналогично,
  • с   правой   стороны   получим    $1,5\cdot f\left(x-5\right)\cdot f\left(x+1\right)=1,5\frac{4}{x-5}\cdot\frac{4}{x+1}=\frac{1,5\cdot16}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{24}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}$.       одинаковые!   ч.т.д.

Упражнения: