Одночлены в точности с одинаковой буквенной частью называются подобными: .
У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые. "2 мешка, 5 мешков".
В выражении $12x+x^2y^3-6x^3y-3x^2y^3$ второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную часть $x^2y^3$. Подобные!
Подобные одночлены: 1) $3x$ и $2x$; 2) $5xy^3z$ и $-3xzy^3$; 3) $7ab^3$ и $ab^3$. 3) $-4x^2$ и $6x^2$.
Вывод: такие одночлены можно складывать и вычитать: " - 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х".
Подобные складываются меж собой. А неподобные нет! Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. " Персики с персиками, груши с грушами".
Неподобные одночлены: 1) $3x$ и $2x^3$; 2) $5xy^3z$ и $-3x^2zy^3$; 3) $7a^3b^3$ и $ab^3$ - буквенные части отличаются степенями переменной или буквами.
Сложение, вычитание подобных одночленов.
Правило сложения подобных одночленов: при сложении подобных ... необходимо сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков, а буквенную часть дописать как у исходных слагаемых.
Пример 1: Выполнить сложение одночленов
2) $5x^3y^2+9x^3y^2=14x^3y^2$;
3) $\frac{1}{2}ab^2+\frac{1}{2}ab^2=ab^2$ т.к. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
Правило вычитания подобных одночленов:
буквенную часть оставляем без изменений, коэффициенты надо вычесть в "правильном" порядке.
Правило группирования подобных одночленов: - переставляем подобные рядом с друг другом.
Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб "похожие оказались вместе".
Группируем по схожести: все персики рядом; все груши рядом с друг другом; все $x^2$ рядом; все "голые" числа рядом.
Пример 2: Выполнить вычитание одночленов
2) $2ab^2c-7ab^2c=\left(2-7\right)ab^2c=-5ab^2c$;
3) $19yz^5-13yz^5=\left(19-13\right)yz^5=6yz^5$;
4) $4xyz^3+3xyz^3-2xyz^3=\left(4+3-2\right)xyz^3=5xyz^3$
Пример 3: Упростить выражение $5xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)$
Первый одночлен записан в стандартном виде, второй и третий нет! значит, выполняем приведение.
Приведем к стандартному виду 2-ой одночлен: $3y\cdot0,5xy=3\cdot0,5\cdot x\cdot y^{1+1}=1,5xy^2$ .
приведем к стандартному виду 3-ий одночлен: $7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=7\cdot2\cdot\left(-0,5\right)\cdot x\cdot y^{1+1}=-7xy^2$
перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований, получим:
$5xy^2-3y\cdot0,5xy+7x\cdot2y\cdot\left(-0,5y\right)=5xy^2-1,5xy^2-7xy^2$ мы видим одинаковые буквенные части.
Значит, они подобны и мы имеем право их складывать и вычитать. С учетом коэффициентов.
Выполним необходимые действия: $5xy^2-1,5xy^2-7xy^2=(5-1.5-7)xy^2=-3,5xy^2$
Пример 4: Выполнить сложение $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b$
cгруппируем подобные одночлены: $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b=a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3$,
выполним сложение подобных: $a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3=4a^3b+5ab^3$, "персики отдельно, груши отдельно":
Взгляд: $a^3b$ назовем персиками, $ab^3$ - грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.
Пример 5: Среди одночленов $5x^2y$; $9x^2y$; $15xy^2$; $x^2y$ найти подобные, сложить их.
Очевидно, что в точности одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены.
выполним их сложение: $5x^2y+9x^2y+x^2y=\left(5+9+1\right)x^2y=15x^2y$; фактически - складываем коэффициенты!
Пример 6: Упростить выражение $\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a$
установим, подобные ли одночлены; приведем их к стандартному виду: $\frac{1}{3}ab^2a=\frac{1}{3}a^{1+1}b^2=\frac{1}{3}a^2b^2$;
$\frac{1}{2}abba=\frac{1}{2}a^{1+1}b^{1+1}=\frac{1}{2}a^2b^2$; $\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{6}a^{1+1}b^2=\frac{1}{6}a^2b^2$; теперь, перепишем заданное выражение:
$\frac{1}{3}ab^2a+\frac{1}{2}abba+\frac{1}{6}ab^2a=\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2$; чтоб сложить дроби, надо привести их к общему
знаменателю и только потом складывать. $\frac{1}{3}a^2b^2+\frac{1}{2}a^2b^2+\frac{1}{6}a^2b^2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)a^2b^2=\frac{2+3+1}{6}a^2b^2=a^2b^2$;
похоже на сложение дробей: $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}=x$ , если $a^2b^2$ вообразить как одну букву $x$. Или, "персик".
Пример 7: Упростить выражение $\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx$
$\frac{1}{2}xyzx+\frac{1}{5}y\left(-x\right)zx-\frac{1}{10}xzyx=\frac{1}{2}x^2yz-\frac{1}{5}x^2yz-\frac{1}{10}x^2yz=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)x^2yz=\frac{5-2-1}{10}x^2yz=\frac{2}{10}x^2yz=\frac{1}{5}x^2yz$
в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!
Группирование многочленов, приведение подобных
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. "алгебраическая ... означает и "+" и "-".
Группирование: подобные слагаемые в выражениии можно переставлять местами и объединять в группы.
Пример 8: Группировать, привести подобные $-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14$
переставим слагаемые, подобные рядом: квадраты с квадратами, линейные с линейными, числа с числами:
$-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=$ затем для наглядности заключим их в скобки
$\left(13x^2-5x^2\right)+\left(5x-19x\right)+\left(14-10\right)=8x^2-14x-4$, мы провели операцию приведения подобных.
Пример 9: Группировать, привести подобные $-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13$
$-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=\left(10x^2-6x^2\right)-\left(15x+12x\right)-\left(7+13\right)$
Внимание на знаки! если перед скобкой поставить минус, внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!
Приведение подобных - это их сложение / вычитание. Чтобы сложить / вычесть подобные надо сложить / вычесть их
коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Суть приведения подобных - упрощение выражения.Пример 10: Группировать, привести подобные $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$
в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом: $=8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=$
$=\left(8y^2-2y^2\right)+\left(5y-6y\right)+\left(4-7\right)=6y^2-y-3$ объединим их в группы, для наглядности заключим стоящие
рядом в скобки; после можно приводить подобные, т.е складывать/вычитать: квадраты отдельно, линейные
отдельно, числа отдельно. итак, исходное выражение $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$ стало равным $6y^2-y-3$
оно упростилось: стало короче и проще, но по сути не изменилось, стало тождественным исходному.
Интерактивная Доска:
Упражнения: