Учебник
Алгебра, 10 класс

Однородные тригонометрические уравнения


Отличительные   признаки    однородных    уравнений:

  • все одночлены имеют   одинаковую степень,
  • свободный член равен нулю,
  • в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Пример 1:                  Решить уравнение              $\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=3\sin\left(x-3\pi\right)$             

  • упростим по    формулам приведения,     получим однородное                 $\sqrt{3}\cos\left(x\right)=-3\sin\left(x\right)$        $\Leftrightarrow$
  • поделим обе части     на синус        $\frac{\sqrt{3}\cos\left(x\right)}{\sin x}=-\frac{3\sin\left(x\right)}{\sin x}$        $\Leftrightarrow$       превратим в котангенс,   справа   сократим
  • $\sqrt{3}\cdot\ctg x=-3$        $\Leftrightarrow$       перенесем числа       $\ctg x=-\sqrt{3}$      $\Leftrightarrow$               Ответ:        $x=-\frac{\pi}{6}+\pi\cdot n$

Пример 2:                  Решить уравнение              $4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t=\cos^2t$         

  • если заменить    $\sin t$   и   $\cos t$ на $X$ и   $Y$   $\Rightarrow$    $4\cdot X^2-3\cdot X\cdot Y=Y^2$   то каждое слагаемое это многочлен 2-ой степени.
  • однородное   уравнение   -   все слагаемые в   одинаковой степени.        род   уравнения равен   степени   слагаемых.    
  • однородные уравнения   удобно   решать   методом   деления    на   одну   из функций в степени, равной роду уравнения.
  • поделим обе части на квадрат синуса          $\frac{4\cdot\sin^2t-3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\frac{\cos^2t}{\sin^2t}$         $\Leftrightarrow$         "раскроем" дробь          $\frac{A-B}{M}=\frac{A}{M}-\frac{B}{M}$
  • $\frac{4\cdot\sin^2t}{\sin^2t}-\frac{3\cdot\sin t\cdot\cos t}{\sin^2t}=\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2$      $\Leftrightarrow$     сократим,    упростим,   используя тождество      $\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a $.      Сведем к котангенсу
  • $4-3\ctg x=\ctg^2x$ .              получили:    1 аргумент,   1 функция.                       далее: метод замены.

Пример 3:      решить уравнение       $2\sin ^25x+5\sin 5x\cdot \cos 5x-3\cos ^25x=0$

  • Однородное 2-го рода - это квадратичная форма.    Разложим на множители
  • Угадаем, какие должны быть коэффициенты по форме      $\left(2\sin5x+?\cos5x\right)\left(?\sin5x+?\cos5x\right)=0$
  • Путем отслеживания чисел легко получить разложение уравнения:     $\left(2\sin5x-\cos5x\right)\left(\sin5x+3\cos5x\right)=0$
  • $2\sin5x-\cos5x=0$            $2\sin5x=\cos5x$       $\tg5x=\frac{1}{2}$       $5x=\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\pi n$       $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$
  • $\sin5x+3\cos5x=0$            $\sin5x=-3\cos5x$      $\tg5x=-3$                $5x=-\arctg\left(3\right)+\pi n$            $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$
  •    Ответ:       $x=\frac{1}{5}\arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi n}{5}$             $x=-\frac{1}{5}\arctg\left(3\right)+\frac{\pi n}{5}$    

Интерактивная Доска

Упражнения: