Анализ дробно-рациональной функции. Асимптоты, экстремум

Учебник
Алгебра, 10 класс

Функция      $y=\frac{k}{x}$ .     Гипербола.   Свойства.

Пример 1:          Построить   график   для   функции    $y=\frac{1}{x}$,      $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

  • Вычислим значения функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
  • $f\left(1\right)=1$             $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$                 $f\left(-1\right)=-1$                $x=-\frac{1}{2}$           $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$       $f\left(2\right)=\frac{1}{2}$                   $f\left(\frac{1}{4}\right)=4$                          $f\left(-\frac{1}{4}\right)=-4$       $f\left(4\right)=\frac{1}{4}$                   $f\left(1\right)=8$                $f\left(-4\right)=-\frac{1}{4}$                      $f\left(-\frac{1}{8}\right)=-8$        .
  • Точки Графика $(1;1)$,   $(2;1/2)$,   $(4;1/4)$,   $(1/2;2)$,   $(1/4;4)$,   $(1/8;8)$,    $(-1;-1)$,   $(-2;-1/2)$,   Еще точки:   $(-4;-1/4)$,   $(-1/2;-2)$,     $(-1/4;-4)$,   $(-1/8;-8)$ . По всем   точкам построим   кривые   -   график функции   $y=\frac{1}{x}$
  • График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$.    Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.

Графиком функции       $y=\frac{k}{x}$       $k\ne0$      является   гипербола ,   ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

  • если коэффициент   $k > 0$ ,    в   I   и    III   координатных четвертях.   Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • если   $k < 0$ ,    то   во   II    и   IV   координатных четвертях. Точка   $(0;0)$   -   центр симметрии.
  • Асимптоты:         Вертикальная асимптота,   линия   $x=0$,               Горизонтальная   асимптота,    линия    $y=0$               

                        

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при    $k > 0$        ( ветви   гиперболы   расположены   в   первом   и   третьем   координатных   углах) .

Свойство 1:     Область   Определения   Функции - вся   числовая   прямая , кроме    $x=0$.     Свойство 2:     $y > 0$   при   $x > 0$;      $y < 0$   при    $x < 0$.    Свойство 3:     Функция   убывает на    промежутках      $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$       Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений   $у$    у функций   нет.     Свойство 6:     Функция   непрерывна   на    $( - ∞ ; 0 )$    и    $( 0 ; + ∞)$. Свойство 7:     Область   значений функции   -    $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$.    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Cвойства   функции      $y=\frac{k}{x}$    при      $k < 0$        (ветви гиперболы расположены   во   втором   и   четвертом   координатных   углах).

Свойство 1:     Область   Определения   Функции   -   вся   числовая   прямая ,    кроме    $x=0$. Свойство 2:     $y > 0$    при    $x < 0$ ;        $y < 0$   при    $x > 0$. Свойство 3:     Функция   возрастает   на   промежутках     $( - ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений    $у$    у функций   нет. Свойство 6:     Функция   непрерывна   на   $( - ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 7:     Область   значений   функции   -   объединение     $( - ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$ .    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции попроще ... используем его для построения функции при "сдвинутых" аргументах и значениях.

Как   построить   график   функции    $y=k\cdot f\left(x\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • График   $y=5\cdot f\left(x\right)$:     Расстянуть вертикально вверх по оси   $OY$   5 раз все, что над $OX$ графика   $y=f\left(x\right)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=5\cdot f\left(x\right)$:     Расстянуть вертикально вниз по оси   $OY$   5 раз все, что под $OX$ графика   $y=f\left(x\right)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=\frac{1}{3}\cdot f\left(x\right)$: Сжать по вертикали, оси   $OY$   график   $y=f\left(x\right)$     3 раза.
  • Еще способ: Перемасштабирование.     Для   $y=5\cdot f\left(x\right)$ ... построить    $y=f\left(x\right)$, изменить масштаб: "1" станет "5", "-2" станет "-10", и т.д.

Как   построить   график   функции    $y=-f\left(x\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=f\left(x\right)$   надо отразить по оси $OX$, "перевернуть".

Как   построить   график   функции    $y=f\left(x+l\right)$,    если   известен   график   функции     $y=f\left(x\right)$.

  • Построить график   $y=f\left(x+l\right)$,    где     $l > 0$?      Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$    вдоль оси   $OX$    на   $l$   единиц масштаба влево.
  • Построить график   $y=f\left(x-l\right)$,    где     $l < 0$?     Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$    вдоль оси   $OX$   на   $l$   единиц масштаба вправо.

Как построить график функции    $y=f\left(x\right)+m$,    если известен график функции    $y=f\left(x\right)$.

  • Построить график   $y=f\left(x\right)+m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$ вдоль оси   $OY$ на   $m$   единиц масштаба вверх;
  • Построить график   $y=f\left(x\right)-m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=f\left(x\right)$   вдоль оси   $OY$   на   $m$   единиц масштаба вниз.

Как построить график функции   $y=f\left(x+l\right)+m$,   если известен график функции    $y=f\left(x\right)$.

  • График функции    $y=f\left(x+l\right)+m$   можно получить из графика    $y=f\left(x\right)$ параллельными   сдвигами по осям    $OX$ и   $OY$.

График Дробной Функции.    

Пример 2:                Построить график функции     $y=-\frac{5}{x+3}$ .

  • сначала построим график функции       $y=-\frac{5}{x}$ ... от графика $y=\frac{1}{x}$ ... отразим от   $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
  • сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси   $OX$    на   $3$   единицы влево, получится   требуемый   график.
  • это   гипербола   с асимптотами $x=-3$;     $y=0$.     "почему   так?"   -   как   мы   строим графики?
  • берем   несколько    $x$ - точек   и   находим   для   каждого   свои   $y$ - значения   в   соответствии    формулой функции".
  • По точкам   проводим   график. Очевидно,   если, скажем,      $x=0,52$      функция   $y=-\frac{5}{x+3}$       дает   какое-то   значение,
  • ... то,   конечно   для    $x=3,52$     другая   функция,      $y=-\frac{5}{x}$    дает   ровно   такое же   значение.
  • значит,   точки   графиков   будут различаться на   $3$   единицы    по   $x$ - координате   и совпадать по $y$ - координате.
  • Ровно   так   и   для   всех   точек.   "Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего? "

                             

Пример 3:                Построить график функции     $y=\frac{4}{x}-5$ .

  • Сначала   надо   построить   график   функции       $y=\frac{4}{x}$ .   Гиперболу   $y=\frac{1}{x}$ "растянем" четыре раза.
  • Сдвинуть   получившуюся   гиперболу   вдоль   оси     $OY$    на   $5$ клеточек   вниз.   Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
  • получится   требуемый   график.    Это   гипербола   с   асимптотами     $x=0$;     $y=-5$.
  • Важно знать где пересекается с нулем.   Решение, корень      $\frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $\left(0,8;0\right)$.
  • Исследование:     Найдем производное: $\left(\frac{4}{x}-5\right)'=-\frac{4}{x^2}$. Нигде не = 0, Экстремума нет!
  • Производная для всех $x$   (кроме $0$) отрицательна - значит всюду убывает.
  • Область Определения:    $D_f=\left(-\infty;0\right)+\left(0;+\infty\right)$                          Область значений $E_f=\left(-\infty; -5\right)+\left(-5;+\infty\right)$
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=\left(-\infty;0,8\right)$ - функция   отрицательна,                $-Z_f=\left(0,8;+\infty\right)$   - функция   положительна.
  • Монотонность:    $+M_f=\left(-\infty;-3\right)+\left(-3;0\right)$ - возрастает         $-M_f=\left(0;3\right)+\left(3;+\infty\right)$   - функция убывает

Вертикальная асимптота ( $x=0$,) проходит в полюсе, точке разрыва функции.   Точка обнуления знаменателя.   Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота ( $y=-5$ ), линия, на которую "ложится" график при значениях $х$    около   $+-\infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола - график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы "зажаты - прижаты" к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота - линия типа $y=2x+3$, к которой    "прижимаются"   ветви графика   "на" или   "около"   + - бесконечнoсти.

Пример 4:                Построить график функции     $y=\frac{x-5}{x^2-25}$

  • Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
  • Тождественное преобразование, сокращение       $\frac{x-5}{x^2-25}=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=\frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=\frac{1}{x+5}$ ?
  • Не спеши!   Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З - в исходной функции нет места $x=5$.
  • Значит: можем строить гиперболу $y=\frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=\frac{x-5}{x^2-25}$, но "без точки $x=5$".
  • Точка $x=5$ разрывает "гладкий" график гиперболы. Она называется "выколотая точка с координатами $\left(5;0,1\right)$".

Важно уметь исследовать функцию - график около точек разрыва.        + / - поблизости.    Куда тянется?

  • Исследуем около   $x=-5$.        Возьмем "близкие" точки $-5,01$ и   $-4,99$.     Вычислим приближенные значения.
  • Чуть левее ... $f\left(-5,01\right)=\frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}\approx -100$.         Чуть правее ... $f\left(-4,99\right)=\frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}\approx 100$.
  • Прямая   $x=-5$ - вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается "вниз", к     $-\infty$ . А справа поднимается вверх к     $+\infty$.
  • Около   $x=5$.    Чуть левее   $f\left(4,99\right)=\frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}\approx0,101$.   $f\left(5,01\right)=\frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}\approx0,099$.
  • Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике   выколотая точка    $\left(5;0,1\right)$.        Т.к. в ней   $y=\frac{1}{5+5}=0,1$.
  • "О нулях":   при   $x=0$    $y=0,2$ .   Но функция нигде не обнуляется, $y\ne0$. Прямая   $y=0$ - горизонтальная асимптота.
  • Анализ:    Найдем производное: $\left(\frac{x-5}{x^2-25}\right)'=\left(\frac{1}{x+5}\right)'=-\frac{1}{\left(x+5\right)^2}$
  • Производная не равна нулю нигде и всюду отрицательна. Экстремума нет, Всюду убывающая функция.
  • Область Определения функции:    $D_f=\left(-\infty;-5\right)+\left(-5;5\right)+\left(5;+\infty\right)$   .
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=\left(-5;5\right)+\left(5;+\infty\right)$ - функция положительна.                $-Z_f=\left(-\infty;-5\right)$   - функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=\varnothing $ - нет роста.         $-M_f=\left(-\infty;-5\right)+\left(-5;5\right)+\left(5;+\infty\right)$   - функция убывает
  • Область значений $E_f=\left(-\infty;0\right)+\left(0;0,8\right)+\left(0,8;\infty\right)$

                       

Пример 5:                Построить график функции     $y=\frac{x^2-16}{x+4}$

  • О.Д.З   функции    $x\ne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим   $y=\frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
  • График нашей функции     -     прямая линия       $y=x-4$       с выколотой точкой       $\left(-4;-8\right)$      при   $x=-4$.
  • "Близко чуть левее":    $x=-4,01$   значение      $f\left(-4,01\right)=\frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$.         Ближе?    ...     Предел    $\approx-8$.
  • "О нулях".      при   $x=0$    $y=-4$ .    Обнуление функции $y=0$    при    $x=4$ - пересечение с   $x$ - осью.
  • Анализ: Найдем производное: $\left(\frac{x^2-16}{x+4}\right)'=\left(x-4\right)'=1$
  • Производное всюду равно 1. Постоянный рост. Кроме разрыва, конечно. Нет точки Экстремума.
  • Область Определения:    $D_f=\left(-\infty;-4\right)+\left(4;+\infty\right)$          Область значений $E_f=\left(-\infty;-8\right)+\left(-8;\infty\right)$
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=\left(4;+\infty\right)$ - функция положительна.                $-Z_f=\left(-\infty;4\right)$   - функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=\left(-\infty;-4\right)+\left(-4;\infty\right)$ - возрастает

График Дробно - Рациональной Функции.

Определение:     дробно-рациональной порядка     $\left(n;m\right)$     называется функция вида      $y=\frac{a\cdot x^n+5x^3-x+c}{b\cdot x^m-4x^2-7x+d}$   

Числитель - многочлен степени   $n$     , знаменатель - многочлен степени    $m$ .       Общий вид:   $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

Нули функции - корни числителя $P\left(x\right)=0$ , Асимптоты (полюсы) - корни знаменателя $Q\left(x\right)=0$.

Пример 6:                  Построить график функции        $y=\frac{x^2}{x^2-9}$.

  • Функция    $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-9}$ - четная:    $f\left(x\right)=f\left(x\right)$      $f\left(8\right)=f\left(-8\right)$   - Слева и справа от $OY$ симметрично.
  • Вычисления: $f\left(-4\right)=\frac{\left(-4\right)^2}{\left(-4\right)^2-9}=\frac{16}{7}\approx2,3$           $f\left(-10\right)=\frac{100}{91}\approx 1,1$           $f\left(-5\right)=\frac{25}{16}\approx 1,6$            $f\left(-3,5\right)=\frac{12.25}{3,25}\approx 3,8$
  • $f\left(-2\right)=f\left(2\right)=\frac{4}{-5}\approx -0,8$          $f\left(-1\right)=f\left(1\right)\approx -0,1$             $f\left(3,5\right)\approx 3,8$ $f\left(4\right)\approx 2,3$          $f\left(5\right)\approx 1,6$          $f\left(10\right)\approx 1,1$
  • Наша функция имеет нули в точке    $x=0$ , а вертикальные асимтоты - линии    $x=-3$   ,      $x=3$
  • Асимптота - прямая линия, к которой "прижимается" график функции, "подходя" к ней бесконечно близко.
  • Чему равно     $\frac{x^2}{x^2-9}$      при очень больших   $x$ ?         $x\approx\pm1000$ ? Конечно,    $y\approx1$                горизонтальная асимптота      $y=1$ .
  • Анализ графика:      1)       Обнуляется   при   $x=0$ . 2) Значение       в нуле :     $y=\frac{x^2}{x^2-9}$     в     $x=0$     равно      $y=0$.
  • 3) Поведение в разрывах:    "чуть левее"    полюса      $x\approx-3-0,01$     значение     $y > 0$   - "большое    положительное".
  • "чуть правее"    разрыва      $x\approx-3+0,01$     значение   функции    "большое отрицательное".
  • Поведение около другого разрыва:   когда    $x$     "чуть левее" ,   например      $x\approx3-0,01$   ,     то        $y < 0$     ;
  • когда    $x$      "чуть правее" ,    например       $x\approx3+0,01$     , то        $y > 0$.
  • 4) Поведение на бесконечности: при        $x\approx\pm\infty$         значение    "ложится"    около       $y\approx1$.
  • 5) Область определения функции - все точки оси     $x$ ,     кроме        $x=\pm3$
  • 6) Функция положительна      $y > 0$   на интервалах      $x < -3$    ,       $x > 3$.
  • 7) Функция отрицательна      $y < 0$   на интервалах     $-3 < x < 0$     ,       $0 < x < 3$.

Исследование Функции:

  • Найдем производное:   $\left(\frac{x^2}{x^2-9}\right)'=\frac{2x\left(x^2-9\right)-x^2\cdot2x}{\left(x^2-9\right)^2}=\frac{-18x}{\left(x^2-9\right)^2}$
  • Производное равно нулю дает точку Экстремума:    $x=0$.   Точка Максимума.
  • Производная отрицательна - значит убывает   $x > 0$. Производная положительна, значит возрастает:   $x < 0$
  • Область Определения:     $D_f=\left(-\infty;-3\right)+\left(-3;3\right)+\left(3;+\infty8\right)$   - область определения функции.
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=\left(-\infty;-3\right)+\left(3;+\infty\right)$ - функция положительна.                $-Z_f=\left(-3;3\right)$   - функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=\left(-\infty;-3\right)+\left(-3;0\right)$ - возрастает         $-M_f=\left(0;3\right)+\left(3;+\infty\right)$   - функция убывает
  • Область значений                   $E_f=\left(-\infty;0\right)+\left(1;\infty\right)$

пробaп                   

Пример 7:                  Анализ графика функции      $y=\frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}$

  • нули - точки обнуления числителя         $4x^2-5x-6=0$         $x=2$         $x=-\frac{3}{4}$
  • Представление:     $\frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}=\frac{2\cdot \left(2x^2-3x+1\right)+x-8}{2x^2-3x+1}=2+\frac{x-8}{2x^2-3x+1}=2+\frac{x-8}{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}=2+\frac{15}{2x-1}-\frac{7}{x-1}$
  • разрыв (полюс):             $2x^2-3x+1=0$        вертикальные асимптоты   -     $x=1$       и       $x=0,5$.
  • при       $x\approx\pm \infty$      значение   "ложится"   около        $y\approx2$.        $-\frac{30}{\left(2x-1\right)^2}+\frac{7}{\left(x-1\right)^2}$        $x=0,75$     $x=15,24$
  • Производное:        $\left(2+\frac{15}{2x-1}-\frac{7}{x-1}\right)'=-\frac{30}{\left(2x-1\right)^2}+\frac{7}{\left(x-1\right)^2}=\frac{-2x^2+32x-23}{\left(2x-1\right)^2\cdot\left(x-1\right)^2}$
  • Или так:   $\left(\frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}\right)'=\frac{\left(4x^2-5x-6\right)'\cdot\left(2x^2-3x+1\right)-\left(4x^2-5x-6\right)\cdot\left(2x^2-3x+1\right)'}{\left(2x^2-3x+1\right)^2}=\frac{\left(8x-5\right)\cdot\left(2x^2-3x+1\right)-\left(4x^2-5x-6\right)\cdot\left(4x-3\right)}{\left(2x^2-3x+1\right)^2}=\frac{-2x^2+32x-23}{\left(2x^2-3x+1\right)^2}$
  • Уравнение Экстремумов:          $\frac{-2x^2+32x-23}{\left(2x^2-3x+1\right)^2}=0$.                 $-2x^2+32x-23=0$.                  $x=8\pm0,5\sqrt{210}$     
  • Производная отрицательна на интервалах       $-M_f=\left(-\infty;0,5\right)+\left(0,5;8-0,5\sqrt{210}\right)+\left(8+0,5\sqrt{210};\infty\right)$.    Убывает.
  • Производная положительна на интервалах       $+M_f=\left(8-0,5\sqrt{210};1\right)+\left(1;8+0,5\sqrt{210}\right)$.         Возрастает.
  • Точка Минимума:    $x=8-0,5\sqrt{210}$       $x\approx0,75$ .                             Точка Максимума:        $x=8+0,5\sqrt{210}$    $x\approx15,25$
  • Область Определения:    $D_f=\left(-\infty;0,5\right)+\left(0,5;1\right)+\left(1;+\infty\right)$   .
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=\left(-\infty;-0,75\right)+\left(0,5;1\right)+\left(2;+\infty\right)$ - положительна.                $-Z_f=\left(-0,75;0\right)+\left(1;2\right)$   - отрицательна.
  • Область значений (приближенно!)               $E_f\approx\left(-\infty;2,001\right)+\left(60;\infty\right)$

                                 

Пример 8:                  Анализ графика функции      $y=\frac{3x^2-5x-8}{x-2}$

  • нули - точки обнуления числителя         $3x^2-5x+8=0$         $x=-1$         $x=\frac{8}{3}\approx2,7$
  • разрыв (полюс):             $x-2=0$        вертикальные асимптоты   -     $x=2$   .
  • "чуть левее":    $f\left(2-10^{-7}\right)=\frac{3\cdot\left(2-10^{-7}\right)^2-5\left(2-10^{-7}\right)-8}{2-10^{-7}-2}=\frac{3\cdot4-5\cdot2-8-12\cdot10^{-7}+5\cdot10^{-7}+3\cdot\left(10^{-7}\right)^2}{-10^{-7}}\approx6\cdot10^7$       Значит, уходит к $+\infty$
  • Чуть правее:    $f\left(2+10^{-7}\right)=\frac{3\cdot\left(2+10^{-7}\right)^2-5\left(2+10^{-7}\right)-8}{2+10^{-7}-2}=\frac{3\cdot4-5\cdot2-8+12\cdot10^{-7}-5\cdot10^{-7}+3\cdot\left(10^{-7}\right)^2}{10^{-7}}\approx-6\cdot10^7$    .... бежит к   $-\infty$
  • Представим нашу функцию по-другому :       $\frac{3x^2-5x-8}{x-2}=\frac{3x^2-6x+x-2-6}{x-2}=3x+1-\frac{6}{x-2}$
  • Видно, что при больших   $x=2$     она     "почти совпадает" с линейной функцией   $3x+1$. "прижимается к ней".
  • $y=3x+1$ - наклонная асимптота нашей функции.
  • Найдем производное: $\left(\frac{3x^2-5x-8}{x-2}\right)'=\frac{\left(6x-5\right)\left(x-2\right)-1\cdot\left(3x^2-5x-8\right)}{(x-2)^2}=\frac{3x^2-12x+18}{(x-2)^2}=\frac{3\left(x^2-4x+6\right)}{(x-2)^2}$
  • Производное нигде не равно нулю, нет Экстремума:    Производное   всюду положительно, значит, возрастает.
  • Область Определения:    $D_f=\left(-\infty;2\right)+\left(2;+\infty\right)$ .       Полюс в     $x=2$ .
  • Знакопостоянство:     $+Z_f=\left(-1;2\right)+\left(\frac{8}{3};+\infty\right)$ - функция положительна.                $-Z_f=\left(-\infty;-1\right)+\left(-1;\frac{8}{3}\right)$   - функция отрицательна
  • Монотонность:                   $+M_f=\left(-\infty;2\right)+\left(2;\infty\right)$    -   всюду возрастает
  • Область значений                        $E_f=\left(-\infty;+\infty\right)$

Графический способ решения уравнений

Пример 9:                Решить уравнение         $\frac{2}{x}=x^2+1$       графическим   способом.

  • Построим   гиперболу      $y=\frac{2}{x}$      и   параболу      $y=x^2+1$ . Равенство означает пересечение.
  • Левая функция   и   правая   функция приобретают   одинаковые значения    ...    графики   этих   функций пересекаются.
  • По чертежу   видно,   что   графики   пересекаются   в   точке    с   координатами    $\left(1;2\right)$.     ответ:      $x=1$.

                     

Пример 10:                Решить уравнение                            $\frac{5}{x}=x-4$.

  • Построим   их   графики:   гиперболу    $y=\frac{5}{x}$    и   прямую   $y=x-4$.    пересекаются ?
  • Гипербола   и   прямая   пересекаются    в   точках   $(-1;-5)$    и    $(5;1)$.    ответ:       $x_1=-1$;      $x_2=5$.

Пример 11:                  Найти наименьшее и наибольшее значения функции    $y=\frac{1}{x}$     на отрезках   а)    $\left[\frac{1}{3};5\right]$      и    б)   $\left[-7;-1\right]$.

  • Построим график функции   $y=\frac{1}{x}$ .
  • Выделим   часть   графика,    соответствующую   значениям   переменной   $x$    на отрезке    $\left[\frac{1}{3};5\right]$.
  • Для   выделенной   части графика   находим:   наименьшее   значение   $y=\frac{1}{5}$     при     $x=5$ ,     наибольшее      $y=3$    при     $x=\frac{1}{3}$.
  • Выделим   часть   графика,   соответствующую   значениям   переменной    $x$   на   отрезке    $\left[-7;-1\right]$.
  • Для   выделенной части   графика   находим:   наименьшее   значение   $y=-\frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее   $y=-1$    при    $x=-1$.     

Упражнения