Иррациональные уравнения

Продолжаем занятия посвященные уравнениям. Тема сегодняшнего занятия - иррациональные уравнения. Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалом, т. е. под знаком корня, называется иррациональным. Для решения иррационального уравнения, следует каким-то образом избавится от радикалов. Обычно это достигается путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. Именно здесь кроется опасность появления посторонних коней, так как, уравнение, полученное после возведения в натуральную степень, может оказаться не равносильным исходному уравнению. Можно доказать, что после возведения обеих частей уравнения в натуральную нечетную степень, получится уравнение равносильное исходному, т.е. в этом случае посторонние корни не образуются. Посторонние корни могут появится при возведении в четную степень.

Рассмотрим иррациональное уравнение вида

$$\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right).$$

Приведем два способа решения этого уравнения.

После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение $f\left(x\right)=g^2\left(x\right)$, которое является следствием исходного уравнения, т.е. каждый корень исходного уравнения является корнем полученного уравнения. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Иначе говоря, у полученного уравнения могут быть корни, которые не являются корнями исходного уравнения. Именно они называются посторонними корнями.

Первый способ решения. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат и найдем все корни полученного уравнения. У полученного уравнения могут быть посторонние корни. Поэтому необходимо провести отбор корней. Отбор корней проводится путем их подстановки в исходное уравнение. Те корни полученного уравнения, которые будут удовлетворять исходному уравнению, являются корнями данного уравнения.

Второй способ решения. Пусть $x$ произвольный корень исходного уравнения, тогда для данного $x$ верно равенство $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right).$ Из этого равенства следует, что $g\left(x\right)\ge 0$ и $f\left(x\right)=g^2\left(x\right).$ Таким образом любой корень исходного уравнения является решением системы $$ \begin{cases}{} f\left(x\right)=g^2\left(x\right),\\ g\left(x\right)\ge 0.\\ \end{cases} $$

Верно и обратное утвержление. Любое решение данной системы является корнем исходного уравнения. Докажем это. Пусть $x$ произвольное решение системы, тогда выполняется равенство $f\left(x\right)=g^2\left(x\right).$ Из этого равенства следует, что $f\left(x\right)\ge 0,$ и мы можем рассмотрет квадратный корень из $f\left(x\right).$ $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g^2\left(x\right)}=\left|g\left(x\right)\right|=g\left(x\right).$ Следовательно, любое решение системы является корнем исходного уравнения. Тем самым доказано равносильность исходного уравнения и системы

$$ \begin{cases}{} f\left(x\right)=g^2\left(x\right),\\ g\left(x\right)\ge 0.\\ \end{cases} $$

Суть второго способа решения заключается в следующем: Для уравнения $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$ выписываем соответствующую равносильную систему и решаем ее. Множество решений системы, и будет множеством корней исходного уравнения.

Пример N 1. $\sqrt{x^2-3x+6}=4.$

Данное уравнение является уравнением вида $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right).$ Выше мы рассмотрели два способа решения таких задач.

Первый способ. Возведем обе части уравнения в квадрат

$x^2-3x+6=16$ или $x^2-3x-10=0.$ Корнями последнего уравнения являются $x=-2;x=5.$ Проведем отбор корней. Подставив в исходное уравнение $x=-2$, получим верное равенство $\sqrt{16}=4.$ Следовательно $x=-2$ является корнем исходного уравнения. Аналогично, можно убедиться, что$x=5$ также является корнем исходного уравнения.

Ответ:$x=-2;x=5.$

На самом деле, здесь отбор корней является лишним. В этом можно убедится, если воспользоваться вторым способом.

Второй способ.Выпишим систему равносильную данному уравнению

$$ \begin{cases} x^2-3x+6=16,, \\ 4\ge 0. \\ \end{cases} $$

Очевидно, неравенство $4\ge 0$ верно для любого $x$, поэтому эта система равносильна уравнению $x^2-3x-10=0.$ Следовательно исходное уравнение равносильно уравнению $x^2-3x-10=0.$ Корнями данного уравнения являются $x=-2;x=5.$ Из равносильности исходного уравнения и уравнения, полученного после возведения в квадрат, следует, что в данном примере отбор корней проводить не нужно.

Пример N 2. $\sqrt{x+2}=x.$

Очевидно, данное уравнение является уравнением вида $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right).$ Следовательно, можно предложить два способа решения.

Первый способ. Для избавления от квадратного корня, возведем обе части в квадрат. В результате чего получим

$x+2=x^2$ или   $x^2-x-2=0.$ Корнями этого уравнения являются $x=-1;x=2.$ Так как, в процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, то необходимо провести отбор корней. Подставим $x=-1.$ Тогда в левой части получим $1$, а в правой части $-1$. Очевидно,$1\ne -1.$ Это означает, что $x=-1$ не является корнем исходного уравнения. Подставив $x=2$, получим верное равенство $\sqrt{4}=2$. Следовательно, это корень исходного уравнения.

Ответ: $x=2.$

Второй способ. Запишем систему равносильную исходному уравнению

$$ \begin{cases} x+2=x^2, \\ x\ge 0. \\ \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} x^2-x-2=0, \\ x\ge 0. \\ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=-1, \\ x=2. \end{array} \\ x\ge 0. \end{cases} $$ Решением этой системы является $x=2.$ Как видим оба способа одинаково просто решают данное уравнение. Хотя, в некоторых задачах будет удобно пользоваться первым способом, а в некоторых -вторым. В частности если у уравнения, полученного после возведения в квадрат, имеются "неудобные" для подстановки в исходное уравнение корни, например, если эти корни иррациональные, то в таких случаях удобно пользоваться вторым способом решения. Вернемся к вопросу появления постороннего корня $x=-1$. Дело в том, что при $x=-1$, левая часть уравнения равна 1, правая -1. Очевидно, $1\ne -1$. Но это неверное равенство превращается в верное после возведения в квадрат. В этом и кроется суть появления данного постороннего корня.

Рассмотрим иррациональное уравнение вида $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)}.$

Очевидно, это уравнение вида $\sqrt{f\left(x\right)}= g\left(x\right)$, где $g\left(x\right)=\sqrt{h\left(x\right)}.$ Следовательно, можно предложить два способа решения.

Первый способ. После Возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим $f\left(x\right)=g\left(x\right).$ Решим это уравнение, а затем проведем отбор корней. Тем самым найдем все корни исходного уравнения.

Второй способ. Запишем систему, равносильную исходному уравнению

$$ \begin{cases} f\left(x\right)=h\left(x\right),\\ \sqrt{h\left(x\right)}\ge0.\\ \end{cases} $$

Неравенство $\sqrt{h\left(x\right)}\ge 0$ выполнено тогда и только тогда, когда выполнено неравенство $h\left(x\right)\ge 0.$ В таком случае, равносильную систему можно записать в виде

$$ \begin{cases} f\left(x\right)=h\left(x\right),\\ h\left(x\right)\ge0.\\ \end{cases} $$ Заметим, что в этой системе вместо неравенства $h\left(x\right)\ge 0$ можно брать неравенство $f\left(x\right)\ge 0$. Таким образом, исходное уравненние равносильно каждой из двух систем

$$ \begin{cases} f\left(x\right)=h\left(x\right),\\ h\left(x\right)\ge0.\\ \end{cases} $$

и

$$ \begin{cases} f\left(x\right)=h\left(x\right),\\ f\left(x\right)\ge0.\\ \end{cases} $$

Суть второго способа решения заключается в следующем: Записываем любую из двух равносильных системм и решаем ее. Тогда, множество решений системы и образует множество корней исходного иррационального уравнения.

Пример N 3. $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{2x-6}.$

Очевидно, это уравнение является уравнением вида $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)}.$ Приведем два способа решения. Первый способ. После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим $x^2-5x+4=2x-6$ или $x^2-7x+10=0$. Корнями этого уравнения являются $x=2;x=5.$ Необходимо провести отбор корней, так как, в процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат. Подставив $x=2$ получим, отрицательные подкоренные выражения. Это означает, что $x=2$ не является корнем исходного уравнения. Подставив $x=5,$ убедимся, что данное значения является корнем исходного уравнения.

Ответ: $x=5.$

Второй способ. Выпишем равносильную систему $$ \begin{cases} x^2-5x+4=2x-6,\\ 2x-6\ge 0.\\ \end{cases} $$

Заметим, что вместо этой системы можно было брать систему

$$ \begin{cases} x^2-5x+4=2x-6,\\ x^2-5x+4\ge 0,\\ \end{cases} $$ которая также равносильна исходному уравнению. Мы выбираем первую систему, так как, ее проще решать.

После небольшого упрощения первая система принимает вид

$$ \begin{cases} x^2-7x+10=0,\\ x\ge 3.\\ \end{cases} $$

Отсюда находим

$$ \begin{cases} \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=2, \\ x=5. \end{array} \\ x\ge 3.\\ \end{cases} $$ Очевидно, только $x=5$ удовлетворяет условию $x\ge 3.$ Следовательно, решением системы, а стало быть, и исходного уравнения является $x=5.$

Выясним причину происхождения постороннего корня $x=2.$ Дело в том, что после возведения в квадрат, мы получили уравнение $x^2-7x+10=0,$ у которого область допустимых значении шире чем область допустимых значений исходного уравнения, и один из корней, полученного уравнения, не попал в область допустимых значений исходного уравнения.

Пример N 4. $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}.$

Будет удобнее, записать это уравнение в виде $\sqrt{3x+4}=\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}.$

Полученное уравнение является уравнением вида $\sqrt{f\left(x\right)}= g\left(x\right),$ где $f\left(x\right)=3x+4,$ $g\left(x\right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}.$ Для таких уравнений можно привести два способа решений. Решение первым способом поручаем читателю. Приведем второй способ решения.

Выпишем равносильную систему

$$ \begin{cases} 3x-5=\left(\sqrt{2x-3}+\sqrt{2x+1}\right)^2,\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}\ge 0.\\ \end{cases} $$

Заметим, что неравенство $\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}\ge 0.$ выполнено для всех $x$, для которых оба эти квадратных корня существуют. Первый квадратный корень существует при $x\ge 3,$ второй -при $x\ge -\frac{1}{2}.$ Следовательно, решением данного неравенства является $x\ge 3.$

Упрастим первое уравнение системы, получим

$$ \begin{cases} \sqrt{x-3}\cdot \sqrt{2x+1}=3,\\ x\ge 3.\\ \end{cases} $$

При $x\ge 3$ верно равенство $\sqrt{x-3}\sqrt{2x+1}=\sqrt{2x^2-5x-3},$ поэтому последнюю систему можно записать в виде

$$ \begin{cases} \sqrt{2x^2-5x-3}=3,\\ x\ge 3.\\ \end{cases} $$

Уравнение $\sqrt{2x^2-5x-3}=3$ равносильно уравнению $2x^2-5x-12=0.$ (см. пример N 1). Тогда последнюю систему можно записать в виде

$$ \begin{cases} 2x^2-5x-12=0,\\ x\ge 3\\ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=-\frac{3}{2}, \\ x=4.\\ \end{array} \\ x\ge 3.\\ \end{cases} $$

Очевидно, решение последней системы является $x=4.$ Следовательно $x=4$ является корнем исходного уравнения. Ответ: $x=4.$

Пример N 5. $\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-6}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}.$

Попытка решения этого уравнения путем возведения в квадрат, приведет к уравнению четвертой степени. При этом придется проводить довольно грамозткие преобразования. Приведем более простое решение. Укажем область допустимых значений.

О.Д.З. $$ \begin{cases} 3x-5\ge 0,\\ 2x-6\ge 0,\\ x+3\ge 0,\\ x-2\ge 0.\\ \end{cases} $$

Решением этой системы является $x\ge 3.$

Перенесем все члены уравнения в леую часть и сгрупируем слагаемые следующим образом:

$\left(\sqrt{3x-5}-\sqrt{x-3}\right)+\left(\sqrt{2x-6}-\sqrt{x-2}\right)=0.$ Каждое выражение заключенное в круглые скобки умножим и поделим на соответствующее сопряженное выражение. В резултате чего получим

$\frac{2\left(x-4\right)}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{x-3}}+\frac{x-4}{\sqrt{2x-6}+\sqrt{x-2}}=0.$

Как видим $x-4$ является общим множителем и его можно вынести за скобки. $\left(x-4\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3x-5}+\sqrt{x-3}}+\frac{1}{\sqrt{2x-6}+\sqrt{x-2}}\right)=0.$

Заметим, что выражение, заключенное во вторые круглые скобки, строго больше нуля в О.Д.З. Следовательно, последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда $x-4=0.$ Из этого уравнения находим $x=4.$ Найденное значение входит в О.Д.З. Следовательно, $x=4$ является корнем исходного уравнения.

Ответ:$x=4.$

Разумеется, истинность корня $x=4$ можно было проверить непосредственно подстановкой в уравнение. Действительно, если в исходное уравнение подставить $x=4,$ получим верное равенство $\sqrt{7}+\sqrt{2}=\sqrt{7}+\sqrt{2}.$ Следовательно, при решении этого уравнения, мы могли обойтись без О.Д.З. Хотя, в некоторых задачах анализ области допустимых значений может существенно упростить решение, а в некоторых задачах такой анализ является единственным возможным способом решения.

Пример N 6. $\sqrt{-x^2+x+2}+\sqrt{x-2}=x^2-8x+12.$

Попытка решения путем возведения в квадрат приведет к уравнению восьмой степени, решение которого будет весьма затруднительным. Можно предложить простое решение этой задачи через анализ области допустимых значений.

О.Д.З. определяется системой

$$ \begin{cases} -x^2+x+2\ge 0,\\ x-2\ge 0.\\ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x\ge -1,\\ x\le 2,\\ x\ge 2.\\ \end{cases} $$

Решением этой системы является $x=2.$ Это означает, что О.Д.З. состоит из одного значения $x=2.$ Остается проверить, удовлетворяет ли данное значение исходному уравнению. Подстановка $x=2$ в уравнение дает верное равенство $0=0.$ Следовательно, $x=2$ является корнем исходного уравнения. Ответ: $x=2.$

Пример N 7. $\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{3x+3}-1.$

Нам будет удобно, исходное уравнение записать в виде

$\sqrt[3]{3x+3}=\sqrt[3]{x}+1.$

Возведем полученное уравнение в куб

$3x+3=x+3\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+1.$

После переноса всех членов в левую часть и приведения подобных членов, получим

$2x-3\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}+2=0.$

Введем обозначение $y=\sqrt[3]{x}.$ Если возвести данное равенство сначала в квадрат а потом в куб, получим $y^2=\sqrt[3]{x^2},y^3=x.$

Запишем последнее уравнение с помощю новой неизвестной $y$

$2y^3-3y^2-3y+2=0.$

Итак, мы получили алгебраическое уравнение третьей степени. Попытаемся разложить левую часть уравнения на множители. Для этого нам понадобится какой-небудь корень этого уравнения. В даннм кубическом уравнении первый коэффициент равен последнему, а второй -предпоследнему. Такие кубические уравнения называются симметричными. Легко проверить,что для   любого симметричного кубического уравнения $-1$ всегда является корнем. В таком члучае, данный кубический многочлен нацело делится на двучлен $y+1.$ Деление можно провести по схеме Горнера. В результате получим $2y^3-3y^2-3y+2=\left(y+1\right)\left(2y^2-5y+2\right).$ Из этого равенства следует, что кубический многочлен будет обращаться в ноль, тогда и только тогда, когда

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y+1=0, \\ 2y^2-5y+2=0\\ \end{array} \\ $$

Отсюда находим

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y=-1,\\ y=\frac{1}{2},\\ y=2.\\ \end{array}\\ $$

Учитывая, что   $y=\sqrt[3]{x},$ получим

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} \sqrt[3]{x}=-1,\\ \sqrt[3]{x}=\frac{1}{2},\\ \sqrt[3]{x}=2.\\ \end{array}\\ $$

Из этих уравнений находим

$$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=-1,\\ x=\frac{1}{8},\\ x=8.\\ \end{array}\\ $$

Как известно, при возведении обеих частей уравнеия в натуральную нечетную степень посторонние корни не появляются. Следовательно, все три найденных значения переменной, являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x=-1;$ $x=\frac{1}{8};$ $x=8.$

Задачи для самостоятельной работы.

  1. $\sqrt{x+5}=2$

  2. $\sqrt{x^2-5x+10}=2$

  3. $\sqrt{3x^2-7x+13}=3$

  4. $\sqrt{-x^2-3x+2}=2$

  5. $\sqrt{5x-1}=x-5$

  6. $\sqrt{x-5}=2x-1$

  7. $\sqrt{2x+3}=x+2$

  8. $\sqrt{x^2-5x+8}=x+1$

  9. $\sqrt{x^2-3x+11}=2x-1$

  10. $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=\sqrt{3x+7}$

  11. $\sqrt{9-x}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x+1}$

  12. $\sqrt{2x-3}+\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$

  13. $\sqrt{x^2+x+3}+\sqrt{3x^2+x+11}=\sqrt{x^2-x-1}+\sqrt{3x^2-4x+1}$

  14. $\sqrt{x-1}\sqrt{x-2}=x^2-3x+2$

  15. $\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}=x^2+x-4$

  16. $\sqrt[3]{3x+2}-1=\sqrt[3]{x-1}$

  17. $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x+1}=\sqrt[3]{3x+1}$

  18. $\sqrt{x}-6\sqrt[3]{x}+11\sqrt[6]{x}-6=0$

  19. $2\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-12=0$

  20. $\sqrt[4]{15x+1}-\sqrt{x}=1$

Интерактивные упражнения для самостоятельного решения