Алгебраические уравнения. Схема Горнера.

Мы начинаем цикл занятий, посвященный уравнениям. В течение цикла разберем методы решения уравнений всех типов, изучаемых в рамках школьной программы. Начнем с алгебраических уравнений. Итак, тема первого занятия – Алгебраические уравнения.

В основном будем рассматривать алгебраические уравнения с одной неизвестной.

Алгебраическим уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида $P(x)=0$, где $P(x)$ - многочлен одной переменной $x$. При этом степень многочлена $P(x)$ называется степенью уравнения.

Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

То есть, $x=c$ является корнем уравнения, если $P(c)=0$. При этом, $x=c$ так же называется корнем самого многочлена $P(x)$.

Решить уравнение – значит найти все его корни, если они существуют, или доказать, что корней нет.

Алгебраические уравнения первой и второй степени соответственно имеют вид

$$ ax + b =0,\ \ \ \ \ \ \ a {x} ^ {2} + bx + c =0 $$

Приводить примеры решения таких уравнений мы не будем, так как они в полном объеме изучаются в школе.

Метод разложения многочлена на множители.

Пример 1        ${x} ^ {3} +4 {x} ^ {2} +3x-2=0.$

Методом разложения на множители, удобно пользоваться в случае, когда удается найти хотя бы один корень уравнения. Известно, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень будет делителем свободного коэффициента.   Для нашего случая, это означает, что, если данное уравнение имеет целый корень, то он будет делителем числа $−2$. Делителями $−2$ являются ${\pm 1,\pm 2}$. Непосредственно подстановкой проверим, есть ли среди них корни уравнения. Легко убедится, что среди этих чисел только $x=−2$ является корнем уравнения. Обратимся теперь, к теореме Безу, согласно которой, если $x=c$ является корнем алгебраического уравнения $P(x)=0$, то многочлен $P(x)$ нацело делится на двучлен $x−c$. В силу этой теоремы, кубический многочлен $x^3+4x^2+3x−2$ нацело делится на $x+2$. При этом результатом деления будет многочлен второй степени.

Деление можно произвести уголком. Однако, гораздо быстрее можно получить тот же результат, применив схему Горнера.

$\ $ $1$ $4$ $3$ $-2$
$-2$ $1$ $2$ $-1$ $0$

$x^3+4x^2+3x−2=(x+2)(x^2+2x−1)$

Очевидно, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x+2=0, \\ {x} ^ {2} +2x-1=0. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=-2, \\ x=-1-\sqrt{2}, \\ x=-1+\sqrt{2} \end{array} $

Ответ: $x=-1-\sqrt{2}$, $x=-2$, $x=-1+\sqrt{2}$

Биквадратные уравнения

Уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$ называется биквадратным уравнением. После замены $y=x^2$ биквадратное уравнение приводится к обычному квадратному уравнению $ay^2+by+c=0$.

Пример 2        $x^4−4x^2−5=0.$

Данное уравнение четвертой степени представляет собой биквадратное уравнение, и оно решается заменой $y=x^2$.

$y^2-4y-5=0$
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y=-1, \\ y=5. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2=-1, \\ x^2=5. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=-\sqrt{5}, \\ x=\sqrt{5}. \end{array} $

Ответ: $x=-\sqrt{5}$, $x=\sqrt{5}$.

Возвратные уравнения четвертой степени

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение четвертой степени.
$$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0 $$

Если $a=f$, $b=d$, то данное уравнение называется возвратным или симметричным уравнением.

Приведем пример решения симметричного уравнения.

Пример 3        $x^4−3x^3−2x^2−3x+1=0.$

Решить эту задачу, методом разложения левой части на множители не удастся, так как, не видно простого способа отыскания какого-либо корня.

Приведенный ниже способ, позволяет решать любое симметричное уравнение четвертой степени.

$x=0$ не является корнем этого уравнения, поэтому, не опасаясь потерять корень, можно обе части уравнения поделить на $x^2$.

$$ x^2-3x-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0. $$
$$ \left( x^2+\frac{1}{x^2} \right) - 3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2=0. $$

Bведем обозначение $y=x+\displaystyle\frac{1}{x}$. Тогда $y^2=x^2+2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$. Учитывая введенное обозначение, получим $y^2−3y−4=0$.

$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y=-1, \\ y=4. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} \small{x+\frac{1}{x}=-1}, \\ \small{x+\frac{1}{x}=4}. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2+x+1=0, \\ x^2-4x+1=0. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=2-\sqrt{3}, \\ x=2+\sqrt{3}. \end{array} $

Ответ: $x=2-\sqrt{3}$, $x=2+\sqrt{3}$.

Отметим, что способ, описанный выше, позволяет решать не только симметричные уравнения, но и любые уравнения четвертой степени, коэффициенты которых удовлетворяют условию $$ \frac{f}{a}=\left(\frac{d}{b}\right)^2 $$

Пример 4         $2x^4−x^3−15x^2+3x+18=0$.

$\displaystyle\frac{f}{a}=\left(\displaystyle\frac{18}{9}\right)=9,$
$\displaystyle\frac{d}{b}=\left(\displaystyle\frac{3}{-1}\right)=-3.$
$\displaystyle\frac{f}{a}=\left(\displaystyle\frac{d}{b}\right)^2$ - выполняется. $$ 2\left( x^2+\frac{9}{x^2} \right) - \left(x-\frac{3}{x}\right)-15=0. $$

$$

$$

$$ $$

Введем обозначение $y= x−\displaystyle\frac{3}{x}$. Тогда $y^2=x^2−6+\displaystyle\frac{9}{x^2}$

.

$2y^2-y-3=0$
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y=-1, \\ y=\frac{2}{3}. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} \small{x-\frac{3}{x}=-1}, \\ \small{x-\frac{3}{x}=\frac{2}{3}}. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2+x-3=0, \\ 2x^2-3x-6=0. \end{array} $

$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, \\ x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}, \\ x=\frac{3-\sqrt{57}}{4}, \\ x=\frac{3+\sqrt{57}}{4}. \end{array} $

Ответ: $x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{3-\sqrt{57}}{4}$, $x=\displaystyle\frac{3+\sqrt{57}}{4}$.

Приведем еще один метод решения общего алгебраического уравнения четвертой степени

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0,$$ где коэффициенты $a, b, c$ - произвольные вещественные числа, $a \neq 0$, а коэффициент $d$ удовлетворяет условию $d=\displaystyle\frac{4abc-b^3}{8a^2}$.

Пример 5         $3x^4+6x^3+x^2−2x−1=0$.

Легко проверить, что условие $d=\displaystyle\frac{4abc-b^3}{8a^2}$ выполняется. Задачи такого типа решаются путем выделения полного квадрата.

$3x^4+6x^3+x^2−2x−1 = 3(x^4+2x^3+x^2)−3x^2+x^2−2x−1 = 3(x^4+2x^3+x^2)−2 (x^2+x)−1 = 3(x^2+x)^2−2(x^2+x)−1$.

Введем обозначение $y=x^2+x$. Тогда данное уравнение примет вид

$3y^2-2y-1=0$
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} y=-\frac{1}{3}, \\ y=1. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x^2+x=-\frac{1}{3}, \\ x^2+x=1. \end{array} $
$ \Bigg\lbrack \begin{array}{l} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}. \end{array} $

Ответ: $x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Следует отметить, что методы, описанные выше, не всегда позволяют решить алгебраические уравнения третьей или четвертой степени. С алгебраическими уравнениями третьей и четвертой степени дело обстоит следующим образом: Известно, что корни любого кубического уравнения можно выразить в радикалах с помощью формулы, называемой формулой Кардано. Аналогично, корни любого алгебраического уравнения четвертой степени можно выразить в радикалах по формуле, называемой формулой Феррари. Однако, применение этих формул предполагает знакомство с комплексными числами, что выходит за рамки стандартной школьной программы. В завершении отметим, что для общего алгебраического уравнения степени выше четвертой, невозможно выразить его корни в радикалах. Это утверждение носит название теоремы Абеля-Руфини.

Задачи для самостоятельного решения

  1. ${x} ^ {3} -2 {x} ^ {2} -2x-3=0$
  2. $2{x} ^ {3} -5 {x} ^ {2} +2x+1=0$
  3. ${3x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} +12x-8=0$
  4. ${x} ^ {3} -7x+6=0$
  5. ${2x} ^ {3} -3 {x} ^ {2} -3x+2=0$
  6. ${x} ^ {3} -5 {x} ^ {2} -5x+1=0$
  7. ${x} ^ {3} +6 {x} ^ {2} +11x+6=0$
  8. ${x} ^ {4} +2 {x} ^ {3} -2 {x} ^ {2} -3x+2=0$
  9. $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} -4x+3=0$
  10. $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} -7 {x} ^ {2} -4x+1=0$
  11. $4 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} +5 {x} ^ {2} +2x-3=0$
  12. $3 {x} ^ {4} + {x} ^ {3} -32 {x} ^ {2} -3x+27=0$
  13. $2 {x} ^ {4} -11 {x} ^ {3} +20 {x} ^ {2} -22x+8=0$
  14. ${x} ^ {4} -2 {x} ^ {3} +5 {x} ^ {2} -4x+3=0$

Интерактивные упражнения для самостоятельного решения